Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
где использован тот факт, что a^iv (k) = aV[l (к). Таким образом, мы имеем всего одиннадцать типов гравитонов, соответствующих одиннадцати независимым компонентам Yjav и у. Мы будем называть гравитоны, соответствующие оператору а12(к), а12-гравитонами и т. д.
Согласно (27) и (28), коммутаторы для ai0(k) и а (к) имеют отрицательные знаки. Следовательно, по соображениям, изложенным в работе [2], для компонент уі0 и Y гравитационного поля мы должны использовать индефинитную метрику, тогда как остальные компоненты нужно трактовать обычным образом. Таким образом, все операторы а12(k), а23(к), asi (к), а10{к), а20(к), а3о(к), а'и(к), а'22 (к), Agg (к), а'00 (к) и а (к) оказываются операторами поглощения, а сопряженные им операторы — операторами испускания. Следует заметить, что, хотя теперь все гравитоны имеют положительную энергию, вероятности неко* 332
С. Гуппіа
торых состояний будут отрицательны. Таким образом, ввиду использования индефинитной метрики мы должны нормировать любое состояние 1F следующим образом:
IfV = ( — 1 )«10+Я20+Пв0+П> (33)
где п10, п20, п3о и п - соответственно числа a10-, a20-, a3u-и а-гравитонов в состоянии xF. Наличие отрицательных вероятностей, однако, не создает каких-либо трудностей для физической интерпретации, так как мы покажем ниже, что для всех реальных состояний nlQ = п20 = я3о = п = 0.
§ 4. Дополнительные условия
При отсутствии взаимодействия дополнительные условия для гравитационного поля можно взять в виде
dv<+)
-^r*-0' (34)
(YclS-Yc") Y = 0, (35)
где y|Tv и Y(+) — положительно-частотные части y^v и у соответственно. Из (34), (35) и сопряженных им соотношений следует, что
Таким образом, дополнительные условия (34) согласуются с (12) в классическом пределе, тогда как в силу (35) гамильтониан (18) оказывается эквивалентным (15).
Подставляя фурье-разложения (25) в (34) и выбирая ось X3 вдоль к, получаем
{а31(к)-ао1(к)}? = 0, (36а)
{а32(к)~ а02(к)}4' = 0, (366)
{а33 (к) - a03(k)}V = {/2 а; (к) - ао3 (к)} 1F = O1 (36в) {азо (к) - а„0 (к)} W = {а3о (к) - /2 а'н (к)} T = O. (36г)
Как показано в работе [2], решение уравнения (36а) состоит из нормированного состояния, не содержащего Osl- и а01-гравитонов и суперпозиции ряда «лишних» со- 12. Квантование гравитационного поля. Линейное приближение 334
стояний с произвольными коэффициентами и нулевой нормой. Однако эти лишние состояния не дают вклада в какой-либо из наблюдаемых эффектов. Кроме того поскольку нормировка сохраняется с течением времени, лишнее состояние всегда будет оставаться лишним. Таким образом, для всех практических целей такие состояния можем игнорировать и рассматривать а31- и а01-гравитоны как полностью отсутствующие в невзаимодействующем гравитационном поле. Аналогично, уравнение (366) приводит к отсутствию а32- и а02-гравитонов для свободного гравитационного поля. Положение вещей с уравнениями (36в) и (36г) несколько проще, так как оба этих уравнения включают оператор а03(к). Легко видеть, что только состояния, удовлетворяющие (36в) и (36г), не будут содержать ao3-, ogg- и а^-гравитонов.
Теперь мы рассмотрим дополнительное условие (35). Подставляя фурье-разложения (25) и (26) в (35), получаем
(Cllll (к)-2а (k)} Y = O. (37)
Используя (30), (36в) и (36г), получаем из (37)
K2 (к)-а (к)} Y = O. (38)
Как и в случае уравнения (36а), (38) приводит к отсутствию а'22- и а-гравитонов в чисто гравитационном поле.
Мы видели, что дополнительные условия (34) и (35) дают нам право отбросить девять типов гравитонов, так что для свободного гравитационного поля мы можем положить
п23 = n3l = /I01 = п02 = /I03 = /4 = п'и = /4 = /1 = 0, (39)
где /г23 — число а23-гравитонов и т. д. Следовательно, в свободном гравитационном поле могут Существовать, лишь а12- и а^-гравитоны. Отсюда следует, что состояние вакуума гравитационного поля может быть определено как состояние, не содержащее а12- и ап"гРавитонов> по" скольку другие типы гравитонов будут исключены с помощью дополнительных условий. К тому же, поскольку, согласно нашей трактовке, все компоненты и у(+) со- 334
С. Гуппіа
держат операторы поглощения, состояние вакуума будет удовлетворять соотношениям
YftY0 = O, Y^V0 = O. (40)
§ 5. Спин гравитонов
В предыдущем параграфе было показано, что в свободном гравитационном поле могут существовать только два типа гравитонов. Рассмотрим теперь спин этих гравитонов.
Канонический тензор энергии-импульса гравитационного поля tpvj соответствующий плотности лагранжиана (16), имеет вид
_ aY^ dL ду ^ , а і /4П
дх^ д (dy^Q/dxv) дх^ d(dy/dxv) +0^u ^i*
Однако, согласно трактовке Белинфанте (см. [5]), этот тензор энергии-импульса должен быть модифицирован. Рассматривая бесконечно малые преобразования Лоренца
б^п = 6u)nv xvy (42)
причем
= — Ou)Vn,
находим тензор ^jiv, <?> имеющий вид
f - aVXTI dL _*vm aVvn f43)
hv'Q= d%v a (aY^Xq) a*0 YvT1 a*0 { 6)
Тогда модифицированный тензор энергии-импульса Gijiv будет
1 д
ojAV = ^JlV J Hx^ (fw* Q + /ой, V + / QV, ц)> (44)
