Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Возникает вопрос: будет ли тороидальная гравитационная волна обладать какой-либо энергией? В силу законов сохранения ответ на этот вопрос для какого-либо момента времени будет ответом и для любого другого момента. Поэтому выберем момент времени T = O максимальной концентрации волны. Так как возмущение ограничено конечной областью пространства, то можно предположить, что метрика является асимптотически плоской. Это дает возможность определить полную энергию или массу гравитационной волны. Но однозначно ли определена эта энергия? Не может ли она быть определена по усмотрению путем выбора произвольных значений для коэффициентов при I/г в асимптотических формулах для пространственной части метрики
ds* ~ (1+Ш У (dx2+^2+dz^ <2°)
Не является ли выбор начальных условий для гравитационной волны в момент T = 0 произвольным? Не означает ли существование этой свободы, что не имеет смысла говорить о гравитационной энергии и гравитационных волнах?
Никакой подобной свободы не существует [9]. Пусть ga?(a> ?= 1, 2, 3) представляют собой пространственную часть метрики в момент T = O и пусть через RW обозначена скалярная кривизна этого трехмерного пространства. Далее, 10. Реальность цилиндрических гравитационных волн 301
введем шесть величин q>a?=<P?a(a» ?= 1, 2, 3) со следом ф «= ф? , хар во времени
Ф«=Фу , характеризующих скорость изменения метрики
(21)
Тогда трехмерный «тензор скорости деформации» фар должен удовлетворять в трехмерном пространстве, при T = О, уравнениям Лишнеровица и Фурес-Брюа:
(<p2-ofo);? = 0 (а= 1,2,3),
ф2-фсффаР+Я(3) = 0. ( '
При T = O первые производные по времени от всех метрических компонент обращаются в нуль. Из (22) следует, что трехмерный скаляр кривизны метрики gtt? должен всюду обращаться в нуль в момент T = O:
RW = 0 при T = 0. (23)
Этому требованию автоматически и точно удовлетворяет линейный элемент (20). Но этот линейный элемент является асимптотической формой метрики тороидальной волны. Поэтому (23) представляет собой дифференциальное уравнение для метрики, которое связывает ее асимптотическое поведение (определяемое параметром М) с ее поведением в области концентрации энергии, так что (23) дает возможность определить «массу», или энергию, гравитационной волны.
Наиболее общая чисто гравитационная волна, симметричная по отношению к моменту T = 0, удовлетворяет уравнению (23). Особый класс таких решений может быть записан в форме:
ds2 = /4 (X, у, г) (dx2 + dy2 + dz% (24)
где / удовлетворяет уравнению Лапласа (см. [10], стр. 90, соотношение (28.7))
V2Z = C^
За исключением тривиального постоянного решения, все решения этого уравнения где-нибудь расходятся, как это видно на примере (20). Следовательно, всюду регулярные 302
Дж. Вебер и Дж. Уилер
решения уравнения (23) не могут быть записаны в форме (24). Мы пока еще не нашли какой-либо схемы для построения и систематизации всех таких регулярных решений. Решение этой задачи является центральным вопросом дальнейшего изучения симметричных во времени гравитационных волн.
§ 4. Цилиндрическая гравитационная волна порождает отличную от нуля кривизну
В дальнейшем мы будем рассматривать цилиндрическую гравитационную волну как идеализированный предел тороидальной гравитационной волны, обладающей конечной и разумным образом определенной энергией, когда радиус Ъ тора очень велик по сравнению со всеми другими встречающимися физическими размерами.
Чтобы убедиться, что эта волна не является фиктивной «координатной» волной в пространстве, являющемся в действительности плоским, достаточно рассмотреть рима-нов тензор кривизны RiJkI- Если бы пространство в действительности было плоским, этот тензор обращался бы в нуль в некоторой системе координат, а следовательно, и во всех системах координат. Однако непосредственный расчет с метрикой (1) [без использования уравнений поля (2) — (4)] дает следующие выражения для компонент тензора кривизны:
Ri'u = Yтт ~ Y0Q - ^tt + V
Щг* - %У0 + ^00 - ЧуУт + Фт'
#i242 = ~ %УТ + ^t0 + -?1 - 1M0 +
Riis = ^tYt - + %Y0 - Щ - ^00, ЯДз = %yQ - Зг|?тг|?0 + г|?0ут - %т,
(25) 10. Реальность цилиндрических гравитационных волн 30?
Я Л* = Q-2vQ2 [ ^r0 - ^tY0 + -1 - %УТ + ] ' ЯЛ. = Q4^2v [^tYt - Щ - 1J5TT + %У0 -
Использование уравнений поля (2)-(4) еще более упрощает эти выражения, но не сводит их все к нулю. Существование этих отличных от нуля компонент доказывает, что цилиндрические гравитационные волны вызывают реальное искривление пространства.
Это отклонение от плоского пространства приводит к реальным физическим эффектам; кривизна изменяет [11] инвариантное расстояние между соседними бесконечно малыми пробными частицами. Следовательно, гравитационной волне, порождающей эти эффекты, следует приписать объективное существование.
§ 5. Реакция пробных частиц на цилиндрическую гравитационную волну
Движение бесконечно малой пробной частицы описывается уравнением геодезической линии
d2xi dxadx?
где величины Г/fc можно рассматривать как компоненты гравитационного поля, зависящие, конечно, в соответствии с принципом эквивалентности, от выбора системы координат. В системе координат (1) пробная частица, покоящаяся в какой-то момент относительно этой системы (Cix1Zds = 0, dx*/ds=l)y испытывает в этот момент ускорение
