Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
J V r« V dL
t* =Lb и-?- , (4.7)
где
= (-g)VaST [IVv0 IV - TvtS rvea ] (4.8)
представляет собой лагранжиан поля в первом приближении. Непосредственный расчет дает точное выражение L как функции ^jLiv, Q•
L^U-gf^S^gn^og^Q, (4.9)
где
gmrjAvga_^javлтад_ лх yiivQO , да _
о ' о
_ gnQ LJtlVXO + gXQ !JlXvno ^ (4 10)
^livoa = gno g.va + ^a ^VQ _ g»v ge<*
Это является, быть может, несколько необычным определением усреднения, состоящим в следующем: 282
Ф. Пи рани.
С помощью формул (4.7)-(4.9) ^ можно выразить через gYIV, о в явной форме:
^ = і (OTO б/ - 26ф° 6^) (- g)1'« S1™1™ g(iv >0. (4.11)
Дифференцируя (4.11) дважды по х* и полагая в соответствии с (4.3) ^ilivjq==O, получаем
^ = 0, = (4.12)
t* = I (бт° - 26^° 6ТФ) (- g)1'* Sjtxiivta X
X (gnx ,Ol guv ,оті + gjtx ,a«n guv ,oi)' (4-13)
Используя теперь (4.4) и уравнения поля для пустого пространства-времени (2.1), после непосредственных вычислений получаем
M=T № ^ - 20^e Ь*) (?* + < 0^) X
+ Rqw (4.14)
Из выражения (4.9) для L следует, что среднее значение на поверхности малой сферы с центром в О будет иметь вид
Лрф ,ss. (4.15)
Подставляя (4.14) в (4.15) и вводя единичный вектор Х° = 60°, направленный вдоль оси времени, получаем
hv = 2oJ ат») (Я* А* - gKk) (RxilI + R™\)RotlvX.
(4.16)
Это ковариантное выражение должно интерпретироваться как приближенный тензор энергии-импульса гравитационного поля, фиксируемый наблюдателем, движущимся с 4-ско-ростью с помощью измерений в его мгновенном трехмерном пространстве. Легко видеть, что = gm — симметрический тензор.
Непосредственные, но громоздкие вычисления приводят к значению tфф, соответствующему тензору Римана в каноническом виде. Важно сравнить физические компоненты 9. Инвариантная, формулировка теории гравитац. излучения 283
1$ для полей типов I и II. Для типа I находим
3
^p = M2 {2 (б«° 6Op+2o«fto*?+зС+1 oft?+i + fc=l
з
+ Зб«"+2 6fe?+2)} - 9бар 2 Oft ] • (4.17)
h= 1
Заметим, что все недиагональные члены здесь равны нулю. Отсюда следует, что наблюдатель, измеряющий эти физические компоненты в системе координат, в которой он покоится, не наблюдает потока гравитационной энергии. С другой стороны, для полей типа II получаем
^ = ^ [а2 ( - 42 6a? + 166а1 6x? + 226а2 б/ +
+ 226а3 o3?) + 4аа (ба2 б/ - ба3 б3р) +
+ 8а2 (ба° -f- да) (60? — б ?)]. (4.18)
Это выражение можно записать в виде
ta = Диагональная часть +
где = ба° + Sa1 — изотропный вектор в направлении распространения излучения, представленного типом II. Недиагональная часть 7a? в точности совпадает по форме с тензором энергии электромагнитного поля излучения и, таким образом, должна интерпретироваться как часть, обусловленная гравитационным излучением. С другой стороны, члены ~а2 должны быть связаны с нерадиационной частью поля, а члены ~ aa — с взаимодействием между этими двумя частями поля. Наблюдатель, измеряющий поле второго типа, будет, согласно такому определению наблюдать поток гравитационной энергии в направлении X1.
Эти результаты подчеркивают правдоподобность определения гравитационного излучения, предложенного в § 3. Если псевдотензор энергии-импульса признать в качестве приемлемого объекта в теории Эйнштейна, вычисления последнего параграфа показывают, что должен наблюдаться поток энергии через малую двумерную 284
Ф. Пи рани.
поверхность, когда, согласно принятому определению, присутствует гравитационное излучение1).
§ 5. Примеры
Предложенное определение не было бы удовлетворительным, если бы области свободного пространства-времени со статической метрикой допускали наличие излучения. То, что это не имеет места, можно видеть из следующего довольно грубого доказательства.
Статическая область пространства-времени при строгом ее определении представляет собой область, для которой имеет место всюду временно-подобная группа движений области внутри самой себя (кроме границ). При этом производящие функции группы образуют нормальную конгруенцию.
Следовательно, если временно-подобный вектор репера Xli выбран касательным к образующим, то
Yoab = O, (5.1)
где Y0ab = Xll ;v XallXbv - некоторые коэффициенты вращения Риччи [13]. Тогда по обычным формулам [13] получаем
tfoabc = 0. (5.2)
Затем с помощью вращения пространственно-подобных векторов репера приводим трехмерный тензор R0a0b к диагональному виду. Из уравнений же (2.1) следует, что при этом должен одновременно диагонализоваться тензор Rabcd.
Следовательно, тензор Римана имеет в этом случае канонический вид типа I и, таким образом, гравитационное излучение отсутствует. Из результата Тауба [21] следует, что не могут иметь место неполяриэованные плоские волны, заполняющие все пространство-вреям2).
1J Ковариантные выражения для энергии обсуждались многими авторами. Большинство этих выражений является квадратичными функциями. Было также предложено много нековариантных выражений.
2) Плоско-поляризованные волны были независимо открыты Бонди и Робинсоном (см. [22]). 9. Инвариантная, формулировка теории гравитац. излучения 285
