Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
102
Глава 17
Используя формулу (17.13), находим
\2U = V • \U = V • (t/Vi|)) = U [Vi|) • Vi|) + V2i|)],
так что уравнение (17.10) принимает вид
V2i|) + V-ф ¦ V-ф + k2 (1 + 6я) = 0. (17.14)
Это уравнение является нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка относительно V\f> и называется уравнением Риккати.
В отсутствие флуктуаций (6п = 0) имеем
V4o + V^-V^o + fe2 = 0. (17.15)
Вычитая (17.15) из (17.14) и полагая
¦ф — 'Фо + 'Фь (17.16)
получаем
+ 2Vtp0 • Vipi = — (Vipj • Vih + k26n). (17.17)
Учитывая тождество
V2 (аді) = TO) 'Фі + 2t/0V^0 • Vih + и0У2^и левую часть уравнения (17.17) можно записать в виде v2^! + 2V^o • Vih = (і/и о) [V2 (адо + ^ад,],
что приводит к следующему уравнению для величины t/0r|)i:
(V2 + k2) (адО = (V^i • Vi|)t + k2 6п) U0.
Это неоднородное волновое уравнение, которое можно свести к интегральному уравнению для \fn:
’Ф1(г)= ul(r) S G( 1Г — r/-УУі + k26n)U0(r')dV'. (17.18)
V'
Воспользовавшись методом итераций, можно получить решение уравнения (17.18) в виде ряда. Полагая под знаком интеграла грі = 0, найдем первую итерацию
^о(г) = 17ЛРГ J G(r-r')6n(r')U0(r')dV', (17.19)
V'
которая представляет собой первое приближение Рытова и широко используется в теории слабых флуктуаций.
Первое приближение Рытова можно записать в виде
гу (г) = ехр (1^0 + грю) = гу0 (г) ехр [гр10 (г)]. (17.20)
Укажем, что если экспоненту в (17.20) разложить в ряд, то первые два члена, имеющие вид гУд (*¦) [ 1 -І-'фіо(г)], совпадут с
Распространение плоской волны в пределах прямой видимости 103
первым борновским приближением. Между тем выражение
(17.20) содержит больше членов, чем первое борцовское приближение, поэтому приближение Рытова обычно считается более точным по сравнению с борновским приближением.
Представление грі в виде итерационного ряда может быть найдено из следующего уравнения, получающегося из (17.18) и
(17.19):
*1>1 (г) = 'Фю(г) + 5 G (Г—г') Vip! (г') ¦ V^i (г') Щ (r')dV'. (17.21)
0 Г
Подставляя грю под знаком интеграла, приходим к следующей итерации. Продолжая эту процедуру, можно найти выражение для грі в виде ряда.
17.3. Флуктуации уровня и фазы
Рассмотрим сначала первое приближение Рытова для слаботурбулентной среды. В этом случае удобно использовать приближенное равенство
дп — 2й[ + п\ « 2«[ (17.22)
и записать
f/(r) = f/0(r)exp[\Mr)], (17.23а)
“Фі (г) = 5 h (г, г') пх (г') dV’, (17.236)
V'
где
h (г, г') = 2k2G (г — г') U0 (f')/Uo (г). (17.23в)
Соотношение (17.236) устанавливает связь поля грі (г) с флуктуациями показателя преломления «і (г).
Найдем теперь выражения для амплитуды А и фазы 5 поля U (г). Полагая
ї/(г) = Л(г)е«М, Uq (г) = Л0(г) ехр [iS0 (г)], (17.24)
получаем
'Pi (г) = X + tS, = In (А/А0) + і (S - S0). (17.25)
Вещественная часть грі, обозначенная через х> представляет собой так называемые флуктуации уровня. Мнимая часть, обозначенная через Si, описывает флуктуации фазы. В данной главе мы исследуем статистические характеристики х и Si для плоской волны. Следует отметить, что х отличается от флуктуаций амплитуды (А — (А))/(А), где <Л> — средняя амплитуда. Величина х отличается и от флуктуаций логарифма амплитуды In Л: In А — <1пЛ>. Однако при IxK'C 1 величина % приближенно равна {А — А0)/А0.
104
Глава 1?
17.4, Случай плоской волны
Рассмотрим теперь распространение плоской волны, падающей на турбулентную среду с границей при х = 0 (рис. 17.1). Точку наблюдения возьмем на расстоянии L от плоскости х = 0. В случае плоской волны в отсутствие случайной среды падающая волна имеет вид
U0(r) = eikx. (17.26)
Подставляя (17.26) в (17.236) и (17.23в), получаем выражение для грі. Дальнейшие математические выкладки можно зна-
У
Рис. 17.1. Падение плоской волны на случайную среду [Р (L, у, г) — точка
наблюдения].
чйтельно упростить, если сделать несколько разумных предположений. Во-первых, предположим, что обратное рассеяние пренебрежимо мало, так что интегрирование в (17.236) ограничено пределами от х — 0 до х = L. Заметим также, что основной вклад в грі (г) дает область у' ~ у и z' ~ z и, следовательно, |у' — у| и |г' — г\ предполагаются малыми по сравнению с расстоянием \х — х'\. Это заведомо верно при X < 10, поскольку в этом случае рассеяние на неоднородности размером 10 сосредоточено в направлении вперед внутри угла порядка Х/10. Условие % < /0 может оказаться слишком жестким, однако оно может быть смягчено для случаев сферической волны и волнового пучка.
В этих предположениях имеем
00 00
ifr (L, у, z) —^ dx' dtf dz'h (L — x',y — y', z — z') щ (x', y', z% 0 — (17.27a)
где
k2 1
h(L — x',y — у', z — z') =
С„ПГ, k (y'-yy + (z'-z)’і 2n (L — x') ^PL1 J L^T' J‘
(17.276)
Распространение плоской волны в пределах прямой видимости 105
Это выражение получается путем приближенной замены G(г—«
— г') в (17.23в) выражением
ехр (tfe 1т гЧ) ^
4я | г — г' | ~
» |ехр[/?((* — х') + 2(7^2 }~)]}/4л(х~х')- (17.27в)
Выражения (17.27а) и (17.276) являются исходными для дальнейшего анализа флуктуаций амплитуды и фазы плоской волны,
17.5. Прямой и спектральный методы
