Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
Найдем спектральную плотность ФЛ(^С), воспользовавшись формулой (16.146). Чтобы вычислить этот интеграл, удобно перейти к сферической системе координат с осью z, направленной вдоль К = ks = ?sis (рис. 16.6). Тогда имеем
Рис. 16.6. Система координат, используемая в (16.146) и (16.17).
°° 2я я
ф« (Л)=w" 5 5 5 (^)ехр (~ iks<t c°s “) risin “da w dra-
(16.17)
ООО
Рассеяние волн в сплошной среде и турбулентные среды
87
Выполняя интегрирование по а и фх), получаем
ОО
1 г sin kj.
Ф" ^ = ~Ї2л)г J вп(га)*я—%s—rddrd. (16.18)
о
Подставив соотношение (16.16) в (16.18), найдем2)
(16.19)
Таким образом, сечение рассеяния а дается выражением
2 fe4/3 sin2 % (п\\
ОГ(0)==1Т [l + 4fe2/2 sin2 (0/2)]2 ’ (16.20)
Это основная формула Букера — Гордона, содержащая два параметра среды: дисперсию (п2^ и радиус корреляции I. Заметим, что если радиус корреляции мал по сравнению с длиной волны, т. е. kj <С 1, то
и, следовательно, рассеяние изотропно, а сечение рассеяния обратно пропорционально АЛ Этот случай соответствует рэлеев-скому рассеянию и лежит в основе объяснения голубого цвета неба, данного Рэлеем [45].
Если радиус корреляции намного больше длины волны, как это обычно имеет место при тропосферном распространении, то
откуда видно, что а не зависит от частоты, и рассеяние имеет острую направленность вперед.
Для тропосферного распространения дисперсия флуктуаций показателя преломления по порядку величины равна [(пі}]'/2 = = 10-6, а радиус корреляции I приближенно равен 50 м (от 20 до 130 м).
*) Заметим, что \ ехр (2 cos a) sin а da =
а (0) ^ (2/я) &4/3 sin2x (я?)
(16.21)
(16.22)
С 7п e~Zp
г) Заметим, что \ е Рр dp =-----------——
0
ОО
0
dP = "ТТ.
Z2 •
83
Глава 16
16.4. Гауссова модель и колмогоровский спектр
Во многих практических ситуациях при описании случайной среды в качестве более удобной аппроксимации может служить гауссова корреляционная функция
Указанные две модели — экспоненциальная и гауссова — не могут полностью объяснить особенности явлений рассеяния в турбулентности атмосферы и океана. Колмогоров на основе физического рассмотрения турбулентности получил спектр полностью развитой турбулентности. Более подробно этот спектр рассматривается в приложении В. Здесь мы даем лишь краткое описание колмогоровского спектра.
Согласно теории Колмогорова, турбулентные вихри можно характеризовать двумя масштабами: внешним масштабом турбулентности L0 и внутренним масштабом (называемым также микромасштабом) турбулентности /о- Поэтому мы разобьем всю область изменения масштабов турбулентных вихрей на три интервала:
а. Энергетический интервал (размер вихря больше L0). Турбулентные вихри с размерами, лежащими в этом интервале, приобретают энергию за счет ветрового сноса и градиента температуры. В общем случае турбулентность в этом интервале анизотропна (рис. 16.7). Спектр в нем зависит от условий возникновения турбулентности в каждом конкретном случае, поэтому общей формулы, описывающей свойства турбулентности в этом интервале, не существует.
б. Инерционный интервал (L0 > размера вихря > /0). В этом интервале кинетическая энергия вихрей превышает энергию диссипации из-за вязкости, и турбулентность имеет существенно изотропный характер. Спектр пропорционален /С~11/3, где К = = 2л;/(размер вихря).
в. Вязкий интервал (10 больше размера вихря) . В этом интервале диссипация энергии из-за вязкости превосходит кинетическую энергию, поэтому спектр очень мал.
Рассматривая эти три области, запишем колмогоровский спектр следующим образом. В энергетическом интервале
(16.25)
(16.24)
(16.23)
Рассеяние волн в сплошной среде и турбулентные среды
89
(О ^ К < 2n/L0) спектр неизвестен. В инерционном интервале имеем
ф„ (/С) = 0,033С2пК~"к при 2n/L0 < К < 2п/10 (16.26)
и в вязком интервале —
Ф« (К) = 0 при 2л/10 < К, где Сп называется структурной характеристикой (рис. 16.8).
Внешний масштаб Внутренний масштаб турбулентности турбулентности
Рис. 16.7. Турбулентные вихри; показаны внешний и внутренний масштабы.
^ Энергетический интервал
(общей формулы не существует)
.я
Инерционный интервал (К6)
размер вихря
Рис. 16.8. Колмогоровский спектр, описывающий спектральную плотность флуктуаций показателя преломления.
В целях математического удобства эти три интервала часто объединяют при помощи одной формулы
Ф„(/О = 0,033С2(К2+ l/liy11/6 ехр (~К2/К2т), (16.27)
где Кт = 5,92/10. Спектр, описываемый формулой (16.27), иногда называют спектром Кармана.
90
Глава 16
Заметим здесь, что, хотя формула (L6.27) описывает полный спектр, тем не менее в энергетическом интервале ее следует рассматривать только как некоторое приближение, поскольку в общем случае спектр в этом интервале анизотропен и зависит от того, как происходит передача энергии турбулентности. Отметим также, что теория Колмогорова опирается на понятие локально однородной среды, тогда как мы рассматривали всюду статистически однородную среду. Это несущественное различие объясняется в приложении Б, разд. Б.З. Здесь же достаточно отметить, что до тех пор, пока ks лежит в инерционном и вязком интервалах, этим различием можно пренебрегать.
