Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
g 4^--^-=1? (7.11)
SaP ds л ds. 4
А А
Докажем, что это действительно так. Действительно, дифференцируя последнее уравнение по sA, мы, согласно (0.18), получим
. A A An . А А А А„ AAaA
й dj* di? - ~ d^ n
ds, KgaVdsi ds, ) gW Pdsi dsл ds. g*?dsA ds2.
A \ AA / AAA AA
(7.12)
Очевидно, как мы уже упоминали раньше, замена нового параметра dsA, определяемого в (7.10), приводит уравнение (7.8) к виду (7.9). Но здесь dsA является „собственным временем", так как он удовлетворяет (7.12). Это можно усмотреть обычным спо-
A
собом, умножая (7.9) на d^a/dsA. Таким образом, мы получаем
уравнение, полностью эквивалентное последнему, из которого следует, что
= (7-13)
4 Зак. № 222 50
г, I. I. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
является интегралом дифференциального уравнения для мировой линии.
В определении (7.10) для d.s. была использована постоянная
Л
M(O)- Очевидно, она всегда может быть выбрана так, что постоянная в последнем уравнении будет равна единице. Этим завершается наше доказательство.
Оба эти уравнения движения, очевидно, могут быть выведены из лагранжиана: уравнение (7.8)—из вариационного принципа
5 J Ldxa = О,
V1 Л лл ла л (7-14)
L = 1 JwS", о*
а (7.9) —из
"Sm(O)cJdsAl = O,
ds2A = fga?d^dM(4)dx.
(7.15)
В обоих случаях g не должны варьироваться по
В точности таким же образом, каким мы перешли от (3.16) к (3.20), т. е. поднятием индексов, можно снова, применяя правило для процесса „препарирования", получить из наших двух уравнений
л
aa а і \ а а
+ HV1O = 0
(7.16)
и, как и в (3.20), получаем
І {їм I ds.ds.
dH" , I а ) dt* db
ds2,
Заметим, что (7.8) могло быть также получено из
г?; P = о, (7.18)
если подставить в него выражение, соответствующее выражению (7.4), и провести рассуждения, подобные тем, которые были сделаны в предыдущем параграфе, где применялось уравнение
Za?;? = 0. (7.19)
Но мы, очевидно, хотим получить те же уравнения движения независимо от того, использованы ли нижние или смешанные индексы S у. ВИДЫ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ ВТОРОГО' РОДА
51
в уравнениях поля, из которых выводятся соответственно (7.18) или (7.19): Эти две формы уравнений эквивалентны только при условии, что
AAA
S^Sp? = SepSpp. (7.20)
A , А А
: ; . гчн-v, р] =^tH-V, Р]. (7.21)
Таким образом, уравнения поля в ОТО являются самосогласованными, если только принимается закон „препарирования" для произведения.
Введем еще один вид уравнений движения, которые имеют некоторую практическую ценность: уравнения (7.16) содержат 4N
А А
неизвестных 5й и [Л. Можно ИСКЛЮЧИТЬ ИЗ НИХ [Л и получить 3N
А
уравнений для 3N неизвестных ^k.
Полагая а = 0и а=я в (7.16), имеем
А
А А ( 0 I А А
ho+pwsv'io=0' (7-22>
А
AA AA А , , А А
«Л + ^+^Др^Іо = «- (7-23)
А
Исключив ]А|0 из второго уравнения с помощью первого, имеем три уравнения для А-й частицы
А А
h00 + ({ Д }Д) hо) «V'I°= (7-24>
Это можно записать в более явном виде, хотя и менее симметрично,
AA А
U _i_J~l_J°lt« +2|Т15» _
" |00^)00| \ 00 ) 4 IO^ ^\0л P 10
А А А
-2 Ш ^a, оК+1L} Hh о - Ш KhK=^7-25)
Легко видеть, что возможна также еще иная форма уравнения геодезической. Мы можем написать (7.10) в виде
А ' А
= ^ (7.26)
4* 52
ГЛ. I. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕИСТВИЕ
А
и рассматривать это соотношение как определение \i. Назовем А А
Ttt(Q) покоящейся массой, а — инертной массой. Тогда геодезическая линия будет даваться через
(^0)(0+^1^,0^10=0. (7.27)
Мы имеем здесь три уравнения для отыскания трех функций Sfr (поскольку S0IO= 1). Для световых лучей мы имеем те же уравнения, но с Ot(O) = O. Величины Ji преобразуются как dtjdS, т. е. подобно нулевой компоненте вектора; величины можно исключить при помощи (7.26).
А
Таким образом, масса |a(jc°) может быть устранена из уравнений, в которых X0 используется как параметр. Этот факт требует некоторых рояснений более общего характера.
В теории Ньютона уравнения движения первого и второго рода имеют одну характерную особенность: было возможно устранить из обеих частей уравнений массу частицы, движение которой рассматривалось. Масса в левой части, появляющаяся как коэффициент при ускорении, была инертной, в то время как масса в правой части, которая всегда умножалась на массу другой частицы, была гравитационной. Этот факт являлся математическим выражением истины, известной еще со времен Галилея,—все тела в пустоте падают с одинаковым ускорением. Это было подтверждено вновь более точными экспериментами Роланда Этвеша, которые показали, что инертная и гравитационная массы численно равны друг другу.
В нашем изложении теории Ньютона эта физическая истина нашла свое выражение в § 6. При написании ньютоновского дей-
л
ствия W1 мы использовали те же коэффициенты т для постоянных инерции, что и для постоянных взаимодействия с гравитационным
полем, Т. Є. В 1І2т\аї>а использованы постоянные инерции, л
V А с А
а в — V т. I dxa(x—§)ср — гравитационные постоянные. Апри-л
