Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
B^i I g — g I3
ВфА
А А
Это уравнение правильно, так как 8(х— §) заменяет х на §(0 в регулярной части функции. Можно заметить, между прочим, что эти уравнения будут справедливы при использовании не только нашей „хорошей" 8-функции, но и обычной S-функции Дирака. Это будет действительно так, ибо интеграл от сингулярной части Cp1 а исчезнет по причине сферической симметрии обычных 8-функций. Следовательно, чтобы получить регулярное выражение для поля на мировых линиях в теории Ньютона, достаточно учесть сферическую симметрию обычной о-функцнк и нет необходимости вводить нашу „хорошую" 8-функцию. Таким образом, вводя (2.15) в (2.13), получаем уравнения третьего рода
N
* S
В
т
B = I ВфА
А В
^a-__ tia
ТД В 13 5 — E
(2.16)
или, умножая на /те, более обычную форму
А*
m
гі ^ mm
А В
_^a
ТА діз
(2.17)
в=і
ВфА
Теперь можно легко ввести вариационный принцип Фоккера, приводящий к (2.17). Это вариационный принцип, хорошо известный из теоретической механики,
bWF = o
Д аа а
A = 1
О, (2.18)
где вариация должна производиться по мировым линиям.
Какова связь между этим вариационным принципом и вариационным принципом для уравнений второго рода? Ответ состоитзо
ГЛ. 1. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
в следующем. Если в W = Wf-\-Wj ввести в качестве поля ср конкретное решение
N А
^-kIiTjl-TT (2-19)
A = 1 ІХ—І I
уравнений поля, то получим правильное выражение для Wf.
Чтобы доказать эту теорему, будем исходить из Wf. Мы имеем следующее равенство, которое вводится только для вариации по ср:
U h
W
fdx / V V = ш Sde f dx^ ««*• (2-20)
f 4nk
U
Заменяя ср из (2.19) и используя уравнения поля (2.6), имеем
nnABu А І ЯІ-1
^7 = -2-2 y^kmm § dt § dxb(x — g)|x — f | =
A = 1 B = I Z1
—ї І /-»»іДТ-ЇІ
АфВ = \и Il — g| A = IZ1 ІХ —6|
(2.21)
Последний интеграл исчезает, ибо наши S-функции являются „хорошими". Теперь, подставляя ср из (2.19) в Wj, имеем
iI к АА ЛГ л А в
W<= fdt%±mH<+fdt 2и km/^хВ(х — g).
и A = I 11 A,B=I IX.
t* N . а А ** АГ АВ
Z1 A = I Z1 A,B = I U-? I
АфВ
N Zj
т
A = 1 Z1
Последний интеграл снова исчезает по тем же причинам, что и раньше. Складывая два последних уравнения, находим
и ( N Л aa а . ** Ав
Wf^Wl= f dtl Yi^mkr S k^sT Y (2.23)
Z1 \ A = 1 A, B = I І5 — I
V А
что тождественно с Wf Фоккера, приведенной нами (2.18). Но полное согласие получено благодаря использованию нашей§ 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В ОТО
31
„хорошей" 8-функции. Используя обычную 8-функцию, мы имели бы дополнительное выражение в (2.23) вида
и M
Wco6ctb. = \ J dt 2 k>"2 / dx ^YT' (2 •24)
и A = 1
которое равно нулю в случае нашей „хорошей" 8-функции и бесконечно в случае 8-функции Дирака и вообще может принимать любое заранее заданное значение, так как можно найти тип 8-функции, для которой
г , а (х)
J dx^T'=ш<1>.
где u)(D—произвольное заранее заданное число. В любом случае это дополнительное выражение будет постоянным и не даст никакого вклада при вариации. Таким образом, поскольку дело касается вариации Wf, наше утверждение не зависит от выбора 8-функции.
Теория гравитации Ньютона, резюме которой изложено в этом параграфе, использует идеализированную концепцию точечных частиц,. С ее помощью мы представляем себе существенные характерные особенности движения планет, на которое размеры планет и их вращения оказывают малое влияние.
ОТО является по существу обобщением и расширением простой теории Ньютона. Здесь тоже введение точечных частиц и использование 8-функций позволит нам описать наиболее важные особенности их движения.
Теория Ньютона была развита в этом параграфе в таком виде, чтобы позволить нам позднее лучше выяснить различия, а также, конечно, и черты сходства между ней и ОТО- Наиболее существенная разница заключается в том, что в ОТО уравнения движения следуют из уравнений поля. Однако именно теория Ньютона послужит нам для подхода к ОТО- В самом деле, мы будем искать решения, которые при с-+оо переходят в решения теории Ньютона. Принцип соответствия столь же важен для выяснения соотношения между ОТО и теорией Ньютона, как и для соотношения между квантовой теорией и классической механикой.
§ 3. Взаимодействие в ОТО. Уравнения движения первого
и второго рода
А А
Мы имеем N точечных частиц и их мировые линии Ча = ^a (X).
А
Обозначим их массы через /и(0). Формально они могут рассматриваться как постоянные взаимодействия частиц с гравитационным полем.32
г, I. I. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Для взаимодействия Wr между частицами и гравитационным полем примем выражение
ЫА А А А
Wi=-Yd m^с f d*a d^k • (3 •1}
A = I а,
А
Мы будем интерпретировать ^as согласно сказанному в разделе „Система обозначений" или, более полно, в приложении 2, т. е.
А
подставим Eft вместо хк, опуская сингулярную часть gМы мо-
жем написать ковариантное определение
AA
= J dxM (X — 5 (X))^ep(JC)1 (3.2)
где 8(4) определяется выражением (0.22) с помощью наших „хороших" 8-функций.