Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
3) Все системы координат допустимы, если они удовлетворяют одному условию: на бесконечности пространство становится евклидовым, а система координат — декартовой.
Первый способ разработан Фоком и его школой. Координатные условия, которые добавляются к уравнениям поля, являются „гармоническими"
CfzrSS^lv=O- (9.9)
Очевидно, если употреблять исключительно это условие, мы изменим дух ОТО, так как оно выделяет группу систем координат. Действительно, гармоническое координатное условие дает особенно простое решение в случае линеаризованных гравитационных уравнений в пустом пространстве. Однако такой случай решений линеаризованных уравнений кажется физически малоинтересным. Впрочем, гармоническая система координат употребляется редко. Например, она не используется в классическом решении Шварц-шильда и, как будет показано в следующей главе, мало связана с проблемой движения. Следовательно, с практической точки зрения, ее преимущества очень малы, если они вообще существуют.
Тем не менее с теоретической точки зрения, если бы гармоническое координатное условие всегда сопутствовало уравнениям поля, это являлось бы, нам кажется, шагом назад по сравнению С идеями ОТО. Идеи ОТО если и не были выведены, то во всяком случае сделаны правдоподобными с помощью простого и очень наглядного мысленного эксперимента с падающим лифтом. Будучи достаточно правильным, он показывает эквивалентность двух систем, основанную на равенстве инертной и тяжелой масс, при этом только в ограниченном участке пространства — времени. Однако для развития ОТО важно, чтобы, две системы, хотя они и не движутся равномерно по отношению друг к другу, были § 9. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В РАЗЛИЧНЫХ' СИСТЕМАХ КООРДИНАТ 59
эквивалентными в определенном смысле. Наблюдатель, находящийся вне лифта, может сказать, что лифт движется с ускорением в его гравитационном поле. Наблюдатель внутри лифта может заявить, что его система координат инерциалъна, по отношению к которой Земля движется с ускорением. Все эти рассуждения теряют смысл, если мы допускаем только гармонические координатные системы.
Теперь о второй возможности. Мы не можем описать движение, не определяя системы координат. Необходимо иметь ее для того, чтобы сравнить результаты наших вычислений с опытом. Но введение какой-либо специальной системы координат является а нарушением идей ОТО.
Следовательно, остается третья возможность: допустимы все системы координат, поскольку поле становится евклидовым на бесконечности, а координатная система—декартовой. Чтобы пояснить нашу точку зрения, рассмотрим простой случай движения планет вокруг очень большого Солнца. Выберем некоторую плоскость на бесконечности или так далеко от Солнца, что гравитационным полем можно пренебречь. Там на бесконечности имеет смысл говорить о плоскостях, идеальных часах и жестких стержнях. Каждое событие в мире отражается однозначно на плоскость посредством светового луча, испущенного в момент события и достигающего плоскости перпендикулярно к ней. Следовательно, каждому событию соответствуют четыре числа Т, Xk в бесконечно удаленной плоскости. Таким образом, движение планеты имеет свое отображение на такой плоскости. Если движение периодическое, то изображение образует замкнутую линию. Можно поворачивать плоскость до тех пор, пока площадь, описываемая изображением движущейся планеты, не станет максимальной. Это отображенное движение в такого рода бесконечно удаленной плоскости является объективным в следующем смысле: для его описания не требуется дальнейшая спецификация координатной системы. (Мы можем рассматривать такое отображенное движение как объективное только в том случае, если первоначальное движение происходило также в „плоскости", т. е. если наблюдатель на бесконечности не обнаруживает эффекта Допплера.)
Таким образом, из нашего примера видно, что безотносительно к какой-либо системе координат можно, хотя бы в принципе, описать движение объективно. Если мы назовем координаты на „параллельной" бесконечной плоскости через Т, Xk, то будем иметь
Xk = Xk(T), (9.10)
как объективное описание движения. В произвольной системе координат имеем
Ik = t (t), (9.11) 60
ГЛ. I. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕИСТВИЕ
где хотя бы теоретически
T= j-oo, (9.12)
так как лучу требуется бесконечный отрезок времени, чтобы достичь бесконечно удаленной плоскости.
Теперь можно определить удобную систему координат, в которой мы описываем движение (9.11), отраженное на бесконечно удаленную плоскость. Она окажется такой, что движение в ней почти объективно, т. е. разница между Чк и Xk и между ДT и Дt меньше ошибки эксперимента. Позже мы вернемся к этой проблеме, уточняя математически идеи, описанные здесь только в обшем виде.
§ 10. Метод решения уравнений поля с помощью дипольной процедуры
Если нужно решить проблему движения точечных частиц и найти гравитационное поле, т. е. если мы хотим найти и g^ (х), то необходимо иметь дело со следующей системой уравнений:
N Л сп A A
<b =--^ZdmW J dsA^C-^dIJdIT- (10Л)
A = 1 -oo A A
