Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
однако, невелико, пока поле, которое в них входит, остается неизвестным; оно должно быть выведено из уравнений поля.
3. Уравнения движения третьего рода находятся из уравнений движения второго рода введением в них действительных значений поля.
Как это должно быть сделано? Ответ на этот вопрос не прост. Мы попытаемся сейчас наметить его в общих чертах, а более подробно сделаем это позднее.
Вернемся к случаю линейной дуалистической теории поля. Допустим, что мы имеем уравнения поля для произвольного движения. Другими словами, мы предполагаем, что уравнения поля не определяют движения и что уравнения движения независимо добавляются к уравнениям поля. Именно в этом случае мы можем решить уравнения поля для произвольного движения. Тензоры поля—решения уравнения поля, символически обозначаемые как /, зависят от положения частицы и функционально — от мировых
А
линий Таким образом, можно символически написать
/ = /(*«) кЧ .....П- (1.3)
А
Затем, полагая в / вместо Xа, скажем, (х°), найдем поле, действующее на А-ю частицу. Вводя эти величины для поля в добавленные уравнения движения, мы получим систему дифференциально-функциональных уравнений, которые будем называть уравнениями движения третьего рода, для мировых линий N частиц. Таким образом, в этих уравнениях поле уже исчезает и остаются уравнения, образованные одними Их интегрирование даст движение M частиц.
Такова, вообще говоря, ситуация в любой линейной теории, в которой движение источников произвольно, Но мы особенно заинтересованы в уравнениях движения в ОТО- В теории гравитации Эйнштейна ситуация в некоторых отношениях более сложна, в других — она проще, чем описанная выше.
В каком отношении ситуация более сложна?
В ОТО нет уравнений поля с произвольным движением и, следовательно, дополнительно, уравнений движения. Та же самая система уравнений, которая определяет поле, определяет таюке и движение. Как же можно найти решения этих уравнений, решения, дающие одновременно поле и движение? Поле определяется движением, а движение — полем. Каков выход из этого затруднения? Мы увидим в дальнейшем, что имеются два подхода. Мы опишем здесь эти методы очень кратко и упростим их описание (пока) настолько, чтобы сделать их не вполне достоверными. S 1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ФИЗИЧЕСКОЙ ПРОБЛЕМЫ
25
Первый заключается в следующем: изменим гравитационные уравнения Эйнштейна в некоторую искусственную систему дифференциальных уравнений, выбранную так, что она допускает произвольное движение. (Это делается посредством нефизического поля, которое мы будем называть дипольным полем.) Затем найдем поле, соответствующее этим неэйнштейновским уравнениям. Однако в конце мы хотим вернуться к эйнштейновским уравнениям. Это можно сделать, только удалив нефизическое поле и, таким образом, ограничив движение тем, которое предписывается уравнениями Эйнштейна. Таким образом, указанная процедура состоит в нахождении поля для неэйнштейновских уравнений и затем одновременно в ограничении как поля, так и движения таким образом, чтобы оба они удовлетворяли уравнениям ОТО-
Второй способ основан на методе приближений. Грубо говоря, он может быть описан следующим образом. Мы начинаем с ньютоновского поля, которое в первом приближении удовлетворяет уравнениям поля ОТО. Затем находим движение, принадлежащее данному полю и определяемое уравнениями поля, т. е. ньютоновское движение. Сделав это, можно найти поле в следующем приближении. Этому полю соответствует движение, вычисленное (с помощью этого поля) с точностью пост-ньютоновского приближения. На каждом этапе приближения существование уравнений движения образует условия, которые дают возможность продолжить процедуру приближения для поля дальше на один шаг. Таким образом, шаг за шагом можно определять поле и движение с возрастающей точностью.
В этом состоят идеи, которые мы будем применять при изучении проблемы движения в ОТО. Они делают случай гравитационного поля более сложным, чем, скажем, случай электромагнитного поля. Однако, как мы упоминали выше, в некотором отношении ситуация более проста, чем для электромагнитного или для какого-либо другого линейного поля.
В каком же отношении ситуация проще?
Мы говорили выше, что уравнения движения третьего рода должны быть (вообще говоря) дифференциально-функциональными уравнениями. Или, другими словами, дифференциальными уравнениями бесконечного порядка, так как для описания всех E в произвольный момент необходимо знать все производные от % в этот момент. Однако гравитационные уравнения движения, по крайней мере в пост-ньютоновском приближении, являются системой 3N обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Следовательно, их структура гораздо проще той, которую мы могли предсказать в общем случае.
Как подобная ситуация в ОТО согласуется с нашей концепцией близкодействкя ? Эта концепция была создана для линейных 26
г, I. I. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
теорий, в которых движение не определяется уравнениями поля. Ее математическим выражением являются гиперболические уравнения поля и дифференциально-функциональные уравнения движения третьего рода.
