Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
Р = ^ Jd3t/6''Ast/y2/(0). (5.85)
что совпадает с (5.74).
Приведенный вывод позволяет уяснить физическую причину того, почему р
имеет порядок величины, определяемый соотношением (5.78). Через
упомянутую ранее воображаемую плоскость существует перенос импульса, так
как молекулы непрерывно пересекают эту плоскость в обоих направлениях.
Плотность потока молекул одинакова в обоих направлениях и по порядку
величины равна nYkT/rn. Однако в среднем молекулы, пересекающие плоскость
сверху вниз, имеют большее значение хг-компоненты импульса, чем молекулы,
пересекающие плоскость в противоположном направлении, так как средняя
скорость их у верхних молекул больше, чем у нижних. Поскольку большинство
молекул, пересекающих плоскость сверху вниз, до этого находилось над
плоскостью в слое толщиной порядка длины свободного пробега X, то их
средняя скорость их превышает среднюю локальную скорость их ниже
плоскости на величину Х(дих/ду). Следовательно, полная величина х-
компоненты импульса, переносимого за 1 сек сверху вниз через единичную
площадку этой плоскости, равна
<5-">
Поэтому ____
р ~ VmkT_ _ (5 g7)
Интересно отметить, что, согласно (5.87), величина р при заданной
температуре не зависит от плотности. Когда Максвелл впервые пришел к
этому выводу, он был так удивлен, что подверг его экспериментальной
проверке, наблюдая скорость затухания колебаний маятника, подвешенного в
газах разной плотности. К его удовлетворению, вывод оказался верным.
$ 5. Вязкость
127
Как видно из соотношения (5.87), коэффициент вязкости возрастает при
уменьшении диаметра молекул, если остальные параметры остаются
постоянными. Это физически легко понять, так как средняя длина свободного
пробега X возрастает при уменьшении диаметра молекул. При заданном
градиенте дих/ду импульс, переносимый через любую плоскость, нормальную к
оси у, очевидно, возрастает при увеличении X. Когда величина X возрастает
настолько, что становится сравнимой с размерами сосуда, содержащего газ,
то описанный метод оказывается неприменимым и понятие коэффициента
вязкости теряет смысл.
С понятием вязкости связан вопрос о граничных условиях для газа,
движущегося вдоль стенки. Газ в отличие от жидкости не
Фиг. 44. Скольжение газа вдоль стенки.
прилипает к стенке сосуда, а скользит вдоль нее со средней скоростью а0.
Чтобы определить и0, необходимо знать, как молекулы газа взаимодействуют
со стенкой. Мы сделаем упрощающее предположение, что из числа молекул,
падающих на стенку, часть, равная 1 - а, упруго отражается, в то время
как оставшаяся часть молекул, равная а, абсорбируется на стенке и затем
возвращается в газ со средней тепловой скоростью. Число а называется
коэффициентом аккомодации. Предположим, что стенка совпадает с плоскостью
ху, как показано на фиг. 44. Тогда направленный вниз поток частиц равен
/ dvx J dvyf dvjivJto = nY2^. (5.88)
Частицы, попадающие на стенку, приходят из слоя толщиной X над
поверхностью стенки. Следовательно, молекулы газа за 1 сек передают
единичной площадке импульс, равный
?,=-""/?Ь+Чй.]' <5¦89,
где (ди/dz)0 - градиент скорости и по нормали к стенке у ее поверхности.
Эта величина представляет собой силу трения на единицу площади, которую
испытывает газ, и должна равняться - \i(du/dz)a.
128
Г л. 5. Явления переноса
Следовательно, граничное условие у стенки имеет следующий вид; или
<5М>
Используя соотношение ji = t/zQ и X = рт |Л>л0/т, где р -постоянная
порядка единицы, получаем граничное условие
"0=sA,(If)o' (5'91)
ГД6 1 - ср
S- ар
- эмпирическая постоянная, которую мы можем назвать "коэффициентом
скольжения11. Если s = 0, то скольжение газа вдоль стенки отсутствует. В
общем случае скорость скольжения равна скорости в газе на расстоянии,
равном s длинам свободного пробега. Обычно величина sX равна нескольким
длинам свободного пробега.
§ 6. ГИДРОДИНАМИКА вязкой жидкости
Уравнения гидродинамики в приближении первого порядка можно получить,
если подставить q и РГр определяемые соответственно выражениями (5.68) и
(5.75), в уравнения (5.21) - (5.23), представляющие собой законы
сохранения. Вычислим предварительно ряд
величин, которые нам понадобятся в дальнейшем:
V - q = - V (ATV0) = - ATV^O - У/С - V0, (5.92)
<5И)
PuAt} = тР (V • и) - АиАи + -| мт (V • и)2. (5.94)
Произведение А^Аи можно еще упростить:
Ри дР Г Id 1
=
§ в. Гидродинамика вязкой жидкости
129
Преобразуем каждый из написанных двух членов в отдельности: duj дщ ^ д /
да, \ d4j = 1 2 2
dxj dxj dxj \ 1 dxjj ' dxjdxj 2 '
dui duj I dui duj\lduj диЛ du( dut duj duj
dxj dxt \dxj dxt J V dxt dxj) ^~ dxj dxj dxt dxL
dui du; dui du, du; dui
-4^ = ~2(VXu)+
Следовательно,
duj dui du, dui
Ж7_^7==~(УХи) +iij~d^' и окончательно получаем
[V2 (й2) - 2u • V2u - (V X u)2l. (5.95)
Подставляя (5.92) - (5.94) в (5.21) - (5.23), находим
-J + V .(ри) = 0. (5.96)
р(ж + и' v)u=-J-V(P-|-V.u)4-iiV2u+R, (5.97)
р (ж +u ¦v)9 ^ т~у20+Т~ VK ' У0 ~ Т~ [тр (У ' и) +
+1 № (V ¦ u)2 - \im {V2 (й2) - 2и • V2u - | V X и |2}] ,
