Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
') Шаровыми функциями называются функции rlYlm или r-l~'Yim, где У 1т -
сферические функции.
$ 8. Примеры из гидродинамики
137
Если масса сферы равна т0, то полная кинетическая энергия жидкости и
сферы равна
? = |К+"')4 (5.131)
Массу "о+т' можно интерпретировать как эффективную массу сферы, поскольку
(5.131) определяет полную энергию, которую надо сообщить сфере, чтобы она
двигалась со скоростью "0.
Продолжим рассмотрение той же самой задачи в том случае, когда
коэффициент вязкости жидкости не равен нулю. Уравнение Навье - Стокса
запишем в виде
0 = - v(P - |-V • u) + (iV2u (5.132)
в предположении, что материальная производная от и, которая была
существенна при нахождении эффективной массы сферы, мала по сравнению с
членами, определяющими вязкость. Справедливость этого приближения мы
обсудим позднее. Поскольку в жидкости нет источников, мы по-прежнему
требуем, чтобы V • и = 0. В результате уравнение (5.132) сводится к двум
независимым уравнениям
V2U = - VP,
с граничными условиями, состоящими в том, что жидкость прилипает к сфере.
Преобразуем систему координат таким образом, чтобы сфера покоилась в
начале координат, а в бесконечности жидкость двигалась с постоянной
скоростью и0. Уравнения (5.133) инвариантны относительно этого
преобразования, а граничные условия принимают вид
[и (г)]г=а = 0,
(5.134)
и(г)->и0 при г-> со.
Взяв дивергенцию от обеих частей первого уравнения (5.133), получим
V2P = 0. С5135)
Таким образом, давление, каким бы оно ни было, должно представлять собой
линейную суперпозицию шаровых функций. Последовательный способ решения
уравнения состоит в том, чтобы, записав Р в виде наиболее общего
разложения по шаровым функциям и потребовав выполнения уравнения (5.135),
определить коэффициенты разложения. Однако мы поступим проще,
предполагая, что Р, если
138
Г л. 5. Явления переноса
не считать аддитивной постоянной, определяется шаровой функцией только
первого порядка
P=P0+^i-^-. (5.136)
где Р0 и Pj - постоянные, которые необходимо найти. При этом задача
сводится к решению неоднородного уравнения Лапласа
уг" = pxV (5.137)
с учетом условий
V • и = 0,
[и (т)]г=а = 0, (5.138)
и(г)->и0 при г > со.
Частное решение уравнения (5.137) имеет вид
11, = _?r=vi^i_=_?(i_3,?). (5.139)
где z обозначает единичный вектор вдоль оси z, направленной вдоль вектора
и. Легко показать, что (5.139) является решением (5.137), если учесть,
что 1 /г и zjrs представляют собой шаровые функции. Таким образом,
У2ц1== - ^[-3V2 = p,v(^j = p,v(5.140)
Для получения полного решения уравнения к частному решению (5.139)
необходимо добавить подходящее решение однородного уравнения, чтобы
удовлетворить условиям (5.138). Путем проверки можно убедиться, что таким
полным решением является функция
u = u0(l -7) + |"о"('2 -в2) (5.141)
где мы положили
Р\ = - у и0а, (5.142)
чтобы удовлетворить условию V-u = 0.
Вычислим теперь силу, с которой жидкость действует на сферу. По
определению, сила, действующая на единичную площадку поверхности, нормаль
к которой направлена вдоль оси Xj, равна величине - Tj, определяемой
соотношениями (5.107). Следовательно, сила, действующая на единицу
площади элемента поверхности сферы, записывается как
f=- (у Tj + 7Т2+7 Т3)= - г Л (5.143)
$ 8. Примеры из гидродинамики
где г - единичный вектор в направлении радиуса-вектора г и Р определяется
соотношением (5,118). Полная сила, действующая на сферу, равна
F' = J dS f, (5.144)
где dS - элемент поверхности сферы и интегрирование происходит
по всей поверхности сферы. Следовательно, достаточно вычислить силу f для
г -а.
Вектор г • Р имеет следующие компоненты:
~ 1 1 Г /да,- ди,\1
(г .Р)1 = 7 х,Р" = 7 х, [ьиР _ р (- + _) j =
= Т-р ~ 7 ЫЬ(х^ ~~Ui + "'] •
Следовательно,
f = - rP+?[V(r • u) - u + (r- V)u], (5.145)
где P определяется выражениями (5.136) и (5.142), a u - соотноше-
нием (5.141). Поскольку u = 0 при г -а, необходимо вычислить лишь первый
и последний члены в скобках. Прямое вычисление показывает, что первый
член при г - а равен нулю. Второй член при г-а оказывается равным
у [(г- V) u]r=a= (-§^)г= а = 4 ^ - j'uo^r~- (5.146)
Подставляя это выражение в (5.145), обнаруживаем, что второй член взаимно
уничтожается с диполыюй частью функции гР, после чего получаем
(f)r=a = -fP0+§?u0.
Постоянная Р0 неизвестна, но она не дает вклада в силу, действующую на
сферу. Из (5.144) получаем формулу
F = 6npau0, (5.147)
которая выражает закон Стокса.
Точность решения (5.141) определяется малостью материальной производной
от и по сравнению с членом pV2u. Обе эти величины могут быть вычислены с
помощью (5.141). В результате мы находим необходимое условие точности
решения
(5.148)
140
Гл. 5. Явления переноса
Таким образом, закон Стокса выполняется только для небольших скоростей и
малых радиусов сферы. Более тщательные вычисления показывают, что более
точная формула для силы F' имеет следующий вид:
Величина рu0a/\i называется числом Рейнольдса. Когда число Рейнольдса
