Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
С течением времени область Г0 будет превращаться в другие области,
однозначно определяемые уравнениями движения. Из определения ясно, что
спустя время т область Г0 станет тождественной Гт. Следовательно, по
теореме Лиувилля
й0 = йт-
Напомним, что область Г0 содержит всю совокупность точек, куда могут
попасть точки, первоначально находившиеся в элементе g0, и Г, содержит
совокупность всех точек, куда могут попасть точки, первоначально
находившиеся в элементе gr, который в свою очередь возник из элемента g0
через время т. Было показано, что Г0 имеет тот же объем, что и Гт.
Следовательно, области Г0 и Гт должны содержать одну и ту же совокупность
точек, за исключением совокупности с нулевой мерой.
В частности, Гт содержит все точки из элемента g0, за исключением
множества с нулевой мерой. Но, по определению, все точки Гт представляют
совокупность точек, куда могут попасть точки, первоначально находившиеся
в элементе ga. Следовательно, все точки элемента g0, за исключением
совокупности точек, имеющей нулевую меру, должны вернуться в после
достаточно большого промежутка времени. Отсюда следует теорема Пуанкаре,
поскольку элемент объема может быть сделан как угодно малым.
§ 6. О СПРАВЕДЛИВОСТИ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА БОЛЬЦМАНА
В свете рассуждений, приведенных в предыдущем параграфе, рассмотрим
вопрос о справедливости уравнения Больцмана. Уже без детального
обсуждения можно сказать, что уравнение переноса Больцмана не является
строгим следствием молекулярной динамики; так, последняя обладает
инвариантностью относительно обращения времени, уравнение же
неинвариантно. Мы выясним также, когда уравнение Больцмана перестает быть
справедливым и в каком смысле его приближенно можно считать верным.
Уравнение переноса Больцмана строго справедливо для разреженного газа в
тот момент, когда газ находится в состоянии "молекулярного хаоса". Но мы
видели, что столкновения могут разрушить возникшее состояние
"молекулярного хаоса". Таким образом, уравнение переноса Больцмана не
может быть строго справедливым для всех моментов времени. Действительно,
если бы уравнение переноса Больцмана было строго справедливым для всех
моментов времени, то из него следовало бы, что распределение, которое
первоначально представляло собой распределение Максвелла - Больцмана,
должно всегда оставаться таковым. Из него следовало бы также, что стул
§ 6. О справедливости уравнения переноса Больцмана
107
никогда не может самопроизвольно подняться в результате статистической
флуктуации - утверждение, которое мы охотно принимаем; но из него
следовало бы также, что не существует и броуновского движения, а это
неверно. Поэтому возникает вопрос: в каком смысле мы можем считать
уравнение переноса Больцмана справедливым?
Ответ следует из приведенных ранее рассуждений, где мы указывали, что
состояние "молекулярного хаоса" следует рассматривать как удобную
математическую модель состояния, не являющегося
. 41. Зависимость функции И от времени для газа, первоначал находившегося
в маловероятном состоянии.
(енных точках газ находится в состоянии "молекулярного хаоса". Пунктирной
л
строго равновесным. Если ббльшую часть времени система находится в
состоянии "молекулярного хаоса", то значения функции Н ббльшую часть
времени лежат вблизи локальных максимумов. Следовательно, в
статистическом смысле поведение функции Н описывается правильно. Таким
образом, уравнение переноса Больцмана можно считать справедливым в
статистическом смысле.
Чтобы проиллюстрировать статистическую справедливость уравнения переноса
Больцмана, рассмотрим газ с таким начальным состоянием, вероятность
которого мала. На фиг. 41 сплошной кривой изображено примерное поведение
Н как функции времени. В отмеченных точках, лежащих на этой кривой, газ
находится в состоянии "молекулярного хаоса". Все эти точки должны
соответствовать
108
Гл. 4. Равновесное состояние разреженного газа
локальным максимумам функции Н (но не все локальные максимумы мы отметили
точкой). В силу предположения о случайности временной последовательности
состояний они, по-видимому, должны равномерно распределяться во времени.
Примерное распределение этих точек изображено на фиг. 41.
Решение уравнения Больцмана будет иметь вид гладкой кривой с
отрицательным наклоном, которая проходит вблизи этих точек, как это
показано пунктирной кривой на фиг. 41. В этом смысле уравнение переноса
Больцмана позволяет описывать приближение системы к состоянию равновесия.
Все эти рассуждения показывают, что уравнение переноса Больцмана вполне
может быть применимым при описании приближения системы к состоянию
равновесия. Окончательная проверка лежит в сравнении получаемых на основе
этого уравнения результатов с экспериментом.
Задачи
4.1. Придумать экспериментальный метод проверки распределения Максвелла -
Больцмана.
4.2. Цилиндрический сосуд с газом при определенной температуре вращается
вокруг фиксированной оси с постоянной угловой скоростью. Определить
