Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
Сделаем далее физически разумное предположение, что
рассматриваемый элемент жидкости, который фактически
является точкой
в жидкости, не обладает внутренним моментом количества движения. Это
предположение позволяет считать Ptj и, следовательно, P\j симметричными
тензорами
Р'ч = рк- (5Л14)
$ 7, Уравнение Навье - Стокса
133
Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть одну из компонент,
например Р12. Взглянув на фиг. 46а, убеждаемся в очевидности соотношения
(5.114).
Наконец, для определения Pif воспользуемся эмпирической связью между
силой сдвига, действующей на элемент жидкости, и скоростью деформации
того же элемента. Сила сдвига F', действующая на единицу площади
параллельно грани куба, стремится растянуть его в
параллелепипед со скоростью, определяемой величиной R'= ц (dy/dt), где
р.--коэффициент вязкости и ф - угол, обозначенный на фиг. 466.
Рассмотрим теперь результат действия силы Р12 на некоторый элемент
жидкости. Из фиг. 46в, где направления силы Р'ц и смещения указаны в
соответствии с (5.105), видно, что
Фиг. 46а. Жидкость, не обла- Фиг. 466. Деформация эле-
дающая внутренним моментом мента жидкости под действием
количества движения, р[2= р'21. силы сдвига.
силы сдвига.
Фиг. 46в. Сила сдвига Р[2.
(5.115)
В общем случае имеем
(5.116)
134
Гл. 5. Явления
переноса
Чтобы шпур тензора Ptj равнялся нулю, необходимо положить
Это соотношение по форме совпадает с (5.75). Этим завершается
феноменологический вывод, из которого видно, что уравнение Навье-Стокса
справедливо не только для разреженного газа, но и для плотной жидкости.
Чтобы проиллюстрировать математические методы, используемые при решении
уравнений гидродинамики (5.100) - (5.102), рассмотрим два примера, в
которых уравнение Навье - Стокса применяется для описания движения
жидкости.
Эффективная масса движущейся сферы
Рассмотрим следующую задачу: сфера радиусом г движется со скоростью и0 в
бесконечной невязкой несжимаемой жидкости постоянной плотности в
отсутствие внешних сил. Уравнение Навье - Стокса сводится в этом случае к
уравнению Эйлера:
где и - поле скоростей жидкости и Р - давление, определяемое уравнением
состояния жидкости. Поместим центр сферы в начало системы координат и
будем задавать положение любой точки в пространстве с помощью либо
прямоугольных координат (х, у, z), либо сферических координат (г, 0, <р).
Граничные условия выбираются таким образом, чтобы на поверхности сферы
нормальная составляющая скорости и была равна нулю, а на бесконечности
жидкость покоилась:
(5.117)
Следовательно,
(5.118)
§ 8. ПРИМЕРЫ ИЗ ГИДРОДИНАМИКИ
(5.119)
[г ¦ u(r)]r=a -(г ¦ un)r = a
(5.120)
U (г) -> 0 при Г -> ;
Здесь молчаливо подразумевается, что, хотя уравнение состояния жидкости
неизвестно, оно совместно с этими граничными условиями. Таким образом,
сфера может только расталкивать жидкость на своем
$ 8. Примеры из гидродинамики
135
пути, но не может увлекать ее за собой. Поскольку мы предполо-жили, что в
жидкости нет источников, то во всем пространстве выполняется условие
_
V • и = 0. (5.121)
Беря ротор от обеих частей уравнения (5.119) с учетом того, что плотность
р постоянна, и пренебрегая членами типа {du/dxl)(du/dxJ), получим
(-J- + и • V) (V X и) = 0; (5.122)
таким образом, вектор V X и остается постоянным вдоль линии тока.
Поскольку очень далеко от сферы V X и = 0, то отсюда следует, что и всюду
V X и = 0. (5.123)
Это означает, что скорость и является градиентом некоторой функции и =
_УФ, (5.124)
где Ф называется потенциалом скоростей. Согласно (5.120) и (5.121),
уравнение и граничные условия для функции Ф имеют вид
У2ф(г) = 0, _ =u0cosd, Ф (г) -> 0 при г-^оо, (5.125)
где 0 - угол между направлением скорости и0 и радиусом-вектором г,
как изображено на фиг. 47. К счастью, для решения этой задачи
нам не потребуется уравнение состояния жидкости, за исключением
предположения, что оно совместно с граничными условиями.
136
Гл. 5. Явления переноса
Наиболее общим решением уравнения *?2Ф = 0 является суперпозиция шаровых
функций ')¦ Поскольку в граничное условие входит функция cos 0, в
качестве пробного решения рассмотрим функцию
ф(г) = Л-^|Л (г>а), (5.126)
которая является шаровой функцией первого порядка и определяет
потенциальное поле, создаваемое диполем, помещенным в центре сферы. Чтобы
удовлетворить граничным условиям, выберем А - = - (7г) и0а3.
Следовательно,
ф(г) = -1йоаз??§± (г>а). (5.127)
Это решение является единственным решением уравнения (5.125), согласно
известной теореме о единственности решения уравнения Лапласа. В этом
случае поле скоростей в жидкости определяется
функцией
u(r) = IBofl3V^ii (г>а). (5.128)
Легко нарисовать линии тока, которые имеют такой же вид, как и силовые
линии электрического поля для диполя (см. фиг. 47).
Вычислим кинетическую энергию жидкости. Она определяется интегралом
К. Э. = f *ir-jp\uP = ^ / dTV 4^ *7 4^ =
(5.129)
где m! - половина массы перемешенной жидкости
т'=т(^ла3р)- (5Л30)
