Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
оператора Ф0 состояния S0 (см. § II 10) отсюда следует
Lg = %e(A). (3.11)
Эта формула дает операторное решение уравнения (2.2) для частного случая
семейства вида (3.2). На самом деле Lg можно записать с помощью
коммутационного оператора, отвечающего какому-либо частному значению 0,
например 0 = 0. Из (3.10) и (3 2) вытекает
S-(e-tAeLee'A0) = i[A, S], откуда, рассуждая как при выводе (3.11),
получаем L0 = eMe2) (Л)е"ме,
где Ф - коммутационный оператор состояния S - S0.
Покажем, что граница (2.9), использующая симметричную логарифмическую
производную, всегда не хуже границы (3.9) и совпадает с ней в случае
чистых состояний. Для этого
СЛУЧАЙ ПАРАМЕТРА СДВИГА
273
нам надо доказать, что De (Л)-1 "S De (Le)-1, причем в случае чистых
состояний имеет место знак равенства. Имеем • De (И) = (А - Л, И -Л)50)
где Л = Е0(Л); используя (3.11), получаем
4- De (Z-e) = -i- (2>0 (Л), Ф0(Л))50 =
= |<фе(Л-Л),Фе(Л-Л))5е = = -1((Л-Л), Фв(Л-Л)>5д.
Учитывая тот факт, что / + ^ 0, получаем, что
?е(Л)5г~Ое(1.е), причем знак равенства имеет место тогда и только тогда,
когда
(/+1ф*)(Л-Л) = 0. (3.12)
Для того чтобы раскрыть смысл этого условия, рассмотрим матричное
представление оператора v4e=5?2(S), отвечающее спектральному разложению
оператора плотности:
0
0
S = st 0
0 0
Согласно (II. 10.9) действие оператора / + -*-Ф2 задается
умножением элемента матрицы в j-я строке и k-м столбце на 4S/S* (Sy +
S*)-1 (sy + s*>0). Поэтому условие (/ + + 1/4 З)2) • X = 0 равносильно
условию SXS = 0; в частности, (3.12) означает
5HS = Л • 52.
Обозначая через Е проектор на ортогональное дополнение к нулевому
подпространству оператора S, получаем
ЕАЕ = А-Е.
274
НЕСМЕЩЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
ГГЛ VI
Это означает, что матрица оператора А должна иметь вид
-А -
0
А
0
где значком ~ обозначены блоки, которые могут быть произвольными.
В случае чистого состояния левый верхний блок состоит из одного элемента,
так что матрица А всегда имеет требуемую форму, и утверждение доказано.
Отметим, что в примере с гауссовскими состояниями {Sp, q} неравенство
(3.9) дает вместо (2.11) лишь
Dq{M}^(2op)-2.
В силу соотношения неопределенностей, (2оР)~2 не превосходит Oq, причем
равенство достигается только в случае чистого гауссовского
квазиклассического состояния, т. е. для состояния минимальной
неопределенности.
§ 4. Измерение силы, действующей на пробный объект
Как пример применения результатов, полученных в предыдущих параграфах,
рассмотрим вопрос об измерении постоянной силы, действующей на
квантовомеханический объект массы т, по наблюдениям за этим объектом.
Потенциал постоянной силы F равен V (х) =-Fx, поэтому динамика объекта
описывается гамильтонианом
Записывая уравнение Шредингера в импульсном представлении
. дгр/ (т|) _ трф/Сп) _ ,п ЗфЛЧ)
dt ~ 2тП '
находим его решение
ф, (г)) = 1/,ф0 (п) = ф0 (г] -Ft) exp ( - ^ - -?J).
"41
ИЗМЕРЕНИЕ СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩЕЙ НА ОБЪЕКТ
275
Отсюда, пользуясь легко устанавливаемой формулой для оператора сдвига в
импульсном представлении
Wx. (Л) = exp [- ? (л - -^)] ф (Л ~ mv),
находим следующую формулу для оператора эволюции ^ = ехр[- ±(-?-Fq)]:
V' = W"L ZL-^'exP(S): (4'2>
2m m
здесь
W w "=expi(w?-f p) (4.3)
2m ' m ^ '
- оператор сдвига, соответствующий кинематическому пре-
образованию (х, v)^(x + F~, v + ^j; V°t = exp^-^j-
оператор свободной эволюции, а последняя экспонента является
несущественным для дальнейшего фазовым множителем.
Формула (4.2) имеет простой физический смысл. В классической механике
уравнения движения в поле постоянной силы F имеют вид
p(t) = p + Ft,
/4\ I Р 4 I FP
<7(0 = <7 + т^+ 2^Г
Преобразование (р, q)->-(p(t), q{t)) можно представить как суперпозицию
двух преобразований: кинематического
сдвига (р, q)-+{p-\-Ft, + и преобразования (р, q)->~
-*¦ (р, q t 'jy которое соответствует свободному движе-
нию. Формула (4.2) является квантовомеханическим аналогом этого факта (из
нее следуют операторные уравнения для наблюдаемых p(t) = V*pVt, q(t) =
VfqVt, которые имеют точно такой же вид, как классические).
В итоге можно сказать, что за время t состояние 5 перейдет в состояние
VtSVt = W*w Ft-St-WFt2 Ft г
276
НЕСМЕЩЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ VI
где S°t = (V?)* SV4 -состояние, в которое перешел бы объект при
отсутствии силы. Обозначая результирующее состояние Sp и учитывая (4.3),
имеем
Рассмотрим теперь вопрос -с какой точностью можно оценить величину силы
F, действовавшей на объект в интервале времени (0, t), по измерениям,
относящимся к моменту t? Проведенный анализ показывает, что это сводится
к оцениванию параметра сдвига F в семействе состояний (4.4), так что к
этой задаче полностью применимы результаты предыдущих параграфов.
В предположении, что оператор (4.5) имеет конечный второй момент
относительно состояния S°, для дисперсии любого несмещенного измерения УИ
силы F выполняется неравенство (3.9). Выразим входящую в него величину
Dso(H) через дисперсии, относящиеся к исходному состоянию S. Имеем
