Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
(6.3) нам нужно показать, что
2 (R(z)-m(z)) = R(&lz)~m(&z), zeZ. (6.4)
В силу определения коммутационного оператора и того факта, что 2(1) = 0,
это равносильно равенству
[X, R(z)]s=(X, R((r)z)-m((r)z))s, XeP(S). (6.5)
В силу леммы 5.1, достаточно проверить это равенство для Х = У( - w). Но
из (4.16), (11.8.7) следует
[V (- пу), R(z)]s = iA(w, z)<?w[S],
а из (4.15), (II.8.5)
(V(-w), R(z))s = -iVif9[S].
Таким образом, достаточно проверить, что характеристическая функция
гауссовского состояния aF^[S] =
258
ГАУССОВСКИЕ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. V
-= exp pm (w) - у a (w, oy)j удовлетворяет соотношению 1Д (2, w) °rw [S]
= - i [V+ m (&2)] [S], (6.6)
что легко устанавливается непосредственным вычислением с учетом
определения оператора .
Докажем достаточность. Пусть 2} (Sftj) с= Тогда 2) (R (г) - т (г)) = R
\Z) - т (^r1z), где ^ - некоторый линейный оператор в Z. Обозначая через
а корреляционную функцию состояния S, имеем
а (г, &гт) - (R (г) - т(г), 2) (R (ш) - т (ш)))5 =
= [Д (г) - m (г), Д (ш) - т(ш)Ь = А (г, ш),
так что 3у где &Р определяется соотношением (2.7). Таким образом,
выполняется (6.4) и, следовательно, характеристическая функция состояния
5 удовлетворяет дифференциальному уравнению (6.6). Оператор неЕЫ-рожден,
так что, заменяя г на ?Р~хг в (6.6), мы получим
-о(в", z)Jrw[S]~[V2-im(z)\Jrw[S]. (6.7)
Пусть {zj} - ортонормированный базис в евклидовом пространстве (Z, а) и
[шу] - компоненты вектора w в этом базисе. Уравнение (6.7) в координатной
форме имеет вид
[щ ~im °fw ^ = - wJJr^ t5]' i = 1............2s-
Единственным решением этого уравнения, удовлетворяющим условию =F0 [5] =
1, является exp р ^ wt (zj) -
- =ехр !'т(ш)-|а(щ, oy)j. Теорема доказана.
Примечание. Пусть Sm - гауссовский оператор плотности со средним т. и
корреляционной функцией а. Рассмотрим соотношение (6.5) для ограниченных
X. Из (11.8.5), (II.8.7) тогда вытекает
i[R(z), Sm] = {R{&z)-m(&z))-Sm, (6.8)
где ^ - оператор, определяемый соотношением (2.7).
Рассмотрим теперь семейство {5s} гауссовских состояний с фиксированной
корреляционной функцией а и сред-
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО
259
ним значением вида
л
т(г)= 2 bjnij (г),
/=1
где 9 = [01, 0"] е |Rrt-• произвольный вещественный
вектор, ту (г) - фиксированные линейные функции на Z. Введем элементы
rtij е Z, определяемые соотношением
mj(z)-a(tnf, г), zeZ.
Предложение 6.1. Семейство {Ss} сильно дифференцируемо как функция со
значениями в пространстве (-'Ж) ядерных операторов, и
dS
Ж- = г [# St] = (R (ms) -m(mj)) • S6. (6.9)
Доказательство. Воспользовавшись формулой
(5.6), мы можем написать
S. = У (2 0У^-Ч) 50У j'2 0/^-Ч|*.
Давая параметру 0У приращение Л имеем 5S +i6j =
где 6у -вектор, все компоненты которого равны нулю, кроме /-й, равной
единице. Таким образом, leR, является однопараметрическим семейством
состояний вида (III.2.2), причем инфинитезимальный оператор R (gP-'-mj)
унитарной группы exp itR (@>~xmj)\ t е R, принадлежит X2 (S), так что
выполнены все условия предложения VI .2.1, которое будет доказано в
следующей главе. Из него вытекает сильная дифференцируемость семейства и
равенство (II 1.2.3), которое в данном случае переходит в первое из
равенств (6.9). Второе получается из формулы 16.8).
В качестве примера рассмотрим квазиклассические состояния осциллятора с
характеристической функцией
(5.3)_, где роль параметров [0У] играют средние значения Р, Q. Тогда z
является двумерным вектором с компонентами х, у,
Д (г, г') = ху' - х'у,
260
ГАУССОВСКИЕ СОСТОЯНИЯ
Ггл v
а среднее значение и корреляционная функция даются формулами
Комментарии к гл. V
§ 1. Формула (1.2) дает так называемое Я-представление Глаубера [33] (см.
также Клаудер и Сударшан [49]). Квантование электромагнитного поля, т. е.
представление его в виде бесконечного набора квантовых осцилляторов в
форме, удобной для применений в квантовой оптике, описывается в книгах
Люиселла [63], Клаудера, Судар-шана [49], Хелстрома [109] Там же можно
найти обсуждение равновесного состояния поля и состояния "сигнал плюс
шум".
§ 2. Бескоординатный подход к каноническим коммутационным соотношениям
для полей разработан Сигалом [91] (случай конечного числа степеней
свободы подробно рассмотрен Кастлером [46]). По поводу симплектических
пространств и приведения к каноническому виду кососимметричной матрицы,
см. Мальцев [66].
§ 3. В случае бесконечного числа степеней свободы аналог теоремы Стоуна-
фон Неймана уже не имеет места (Сигал [91]). С этим связаны некоторые
"расходимости" в теории квантовых полей. Математически строгое изложение
проблематики этой теории дается в книге
m(z) = Px-\-Qy, а (г, г) - Орх2-\-о^у*.
Отсюда
так что
R (тР) - т (тр) = ор (Р - Р), R (trQ) - т (mQ) = Oq (Q - Q);
и соотношения (6.9) приобретают вид
(6.10)
Соотношение (6.4) переходит в
S)(P) = -o^(Q-Q). Ъ(С1)=орЦР-Р). (6.11)
КОММЕНТАРИИ
261
Боголюбова, Логунова, Тодорова [14j. Преобразование Вейля [241 и обратное
преобразование изучали Лупиас И Миракль-Соль Г6П Пул [84], Холево [111].
