Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
измерении Е (dQ), отвечающем наблюдаемой Q. Пользуясь символикой Дирака
(см. § II 1.5), мы можем написать
Е (dQ) = | Q) (Q | dQ,
где | Q)- формальные собственные векторы оператора Q.
Так как XE = Q, то условие локальной несмещенности для измерения E(dQ),
очевидно, выполняется. Таким образом, измерение канонической наблюдаемой
Q является равномерно наилучшим несмещенным измерением параметра Q в
семействе гауссовских состояний |S^ ^|. Аналогичное утверждение имеет
место и для измерений параметра Р.
СЛУЧАИ ПАРАМЕТРА СДВИГА
269
§ 3. Случай параметра сдвига
В § III 2 мы анонсировали неравенство
De{M}De(A)^±\±Ee{M}\* (3.1)
для дисперсии измерения параметра сдвига 8 в семействе состояний вида
(3.2)
Теперь мы дадим строгое доказательство этого неравенства и сравним его с
полученным выше неравенством (2.5).
Прежде всего установим условие, при котором семейство (3.2) удовлетворяет
необходимым требованиям 1), 2).
Предложение 3.1. Пусть оператор А квадратично-суммируем относительно
исходного состояния S; тогда он квадратично-суммируем относительно
состояний Se, -оо< <С 8 <.' со. Семейство {50} сильно дифференцируемо как
функция 0 со значениями в банаховом пространстве ядер-ных операторов 51
(а%Д, причем имеет место уравнение
?eSe = i[A, Se], (3.3)
где коммутатор понимается в смысле § II.8.
Это предложение дает строгую версию формального соотношения (II 1.2.3).
Доказательство. Докажем сначала, что из /1ё следует Л <= <5?! (50). Как
было сказано перед формулировкой теоремы Стоуна в § II.4, из того, что
фе^ДЛ), следует У0фе.^(Л) и ЛУ0ф = У0Лф, гДе У0 = е'ле. Поэтому из 0$ (А)
го следует, что
& (A) Z3> g%(VqYS Vq)~<s^(VSq) и оператор Л |AS0 = = ЛУ0 ]AS У0 = У0Л S
У0 является оператором Гильберта - Шмидта вместе с оператором Л ]/S.
Остается сослаться на предложение II.8.1.
Положим теперь
Se = TqRq,
где Те=У0|/^> /?e = ]/S У0 - операторы Гильберта -
Шмидта. Покажем, что семейства (То), сильно дифференцируемы как функции
со значениями в $2(в/$Г),
270
НЕСМЕЩЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ. VI
причем
^-Ге = -МГе, -~Re = iReA. (3.4)
Достаточно рассмотреть семейство {Те}. Имеем
| + iAT6 [ = I Тле (А) ¦ А Те ||2,
где функция Тде (х) - (Д0 ¦ х)-1 (eClX0'x - 1 - г'Дб ¦ х) обладает
свойствами
|^де (х) |< const;
НтТд0(л:) = О| xeR.
де-vo
Отсюда вытекает, что
l|T,Ae(y4)Kconst; (3.5)
lim Тде(Л)ф = 0, iIigeT. (3.6)
де->о
Покажем, что |Тде (Л) Л7вЦа->-0, когда Д0->-О.
Заметим, что Q = i47ee^2(e%'~), поэтому Q можно аппроксимировать
операторами конечного ранга Q. Из (3.6) вытекает, что ||/''де (-^)Q|i -*-
0 при Д0->-О. С другой стороны, согласно (II.7.14)
|| Fa6 (A)(Q- Q) I < IIТде (A) II • IQ - Q Ц,,
что в силу (3.5) может быть сделано сколь угодно малым. Это доказывает
соотношения (3.4).
Предложение вытекает теперь из следующего простого .факта: если Se = Тв
Rq, где {Ге}, {#е} сильно дифференцируемы как функции со значениями в
(о5Г), то {Se} сильно дифференцируемо как функция со значениями в S1
("ЯГ) и
d с, dT9 n , iji dRQ
В самом деле,
^е+де-^ ^е+де-7^ D . т' ^е+де-
Дб = Дв ^е+де-Ме- дв
СЛУЧАЙ ПАРАМЕТРА СДВИГА
271
По доказанному, Д0-1 (Тв+лв - Тв) Д0-1 (Re+ьв -
- в §;а(еЖ\, семейство {Де}, будучи дифферен-
цируемым, является непрерывным, так что Де+де-^Яе в Я?*{оЖ). Дальнейшее
вытекает из неравенства (II.7.13), связывающего ядерную норму и норму
Гильберта - Шмидта. Предложение доказано.
Предложение 3.2. Пусть инфинитезимальный оператор А в семействе (3.2)
принадлежит <S?H(S), а измерение М удовлетворяет условиям 1), 2) из §2.
Тогда имеет же то неравенство (3.1).
Доказательство. Если X - ограниченная наблюдаемая, то из (2.1) и (3.3)
следует, что
~lf Ее (X) = [Л, X]sg. (8.7
В частности, полагая Х = М(В), получаем
А ^ {В) = [ А, М (В)]?0, Вбе/ (0).
Используя это соотношение, докажем аналог равенства (3.7) для измерения,
удовлетворяющего условиям 1), 2):
^Е0{Л1}=[Д, XM]Se, (8.8)
где Хм определяется в (2.6).
В силу условия 2) ~?q{M}= ^ 0-^p(d0). Рассуждая как при доказательстве
предложения 2.1, получаем
J 0-^4d0)= J Q [A, M(d0)]Sfl = [4, ХлЖе,
т. е. (3.8).
Из неравенства (11.9.8) и соотношения неопределенностей (II.9.3) следует
De{M}DeM)^|[X*, Л]4е.
Подставляя в правую часть (3 8), получаем (3.1).
272
НЕСМЕЩЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
(ГЛ. VI
Заметим теперь, что из (3.3), (3.7) вытекает выполнение для семейства
{S0} условия 2) из § 3:
TrASs.x
|[Л, ХЬ %:;4М. Л>5,(Х, X>s,
в силу предложения 11.9.1.
Таким образом, если оператор А в семействе (3.2) квадратично суммируем, а
несмещенное измерение РА удовлетворяет условиям 1), 2), то для дисперсии
измерения справедливы две нижние границы: неравенство (2.9) и неравенство
?е {Ж} Si[4D0 (Л)]-1. (3.9)
Для того чтобы сравнить эти границы, найдем связь между симметричной
логарифмической производной семейства (3.2) и инфинитезимальным
оператором А. Сравнивая соотношения (2.2) и (3.3), получаем
Se*Le = i[A, S0] (3.10)
или, что равносильно,
<Х, Le)Se = [X, Л]50
для любого ограниченного эрмитова X. В силу определения коммутационного
