Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
исторически связано со знаменитыми исследованиями Бора и Розенфельда [11,
12].
Обобщенные функции
Выбрав различные линейные пространства для основных функций, получим
различные типы обобщенных функций [13]. Конечно, природа не подсказывает,
в ка-
14
ком из пространств обобщенных функций мы должны стрвить квантовую теорию
поля. Нужна гибкость при выборе технических допущений, так как динамика в
виде системы дифференциальных уравнений в частных производных часто
определяет естественное пространство основных функций. Нерелятивистская
квантовая механика эффективно использует преобразование Фурье в качестве
изоморфизма между х- и р-пространствами. Пространство основных функций,
инвариантное относительно преобразования Фурье и допускающее локализацию
в х- и р-пространствах, является пространством 5-функций Шварца [14, 15].
Пусть x=*(xu..x")&Rn и г=(гь..., rn)eZ+ (Z+= = {г}), где г - целое число
^0. Обозначим
Для любого п 3>m=3*m(Rn) является пространством т раз непрерывно
дифференцируемых функций ф на Rn, для которых
l|<PL= sup (1 + И х ||)m | Д*ф (х) | < оо. (1.9)
I k | < m x&R"
Можно показать, что |[... ||m - норма, a S'm - банахово пространство.
(^= П состоит из всех комплексных бесконечно
дифференцируемых функций ф, которые вместе со своими производными убывают
на бесконечности быстрее любой степени ||x||_1 (например, ехр{-||х||2}).
Носитель функции ф, supp ф, наименьшее замкнутое множество в Rn, вне
которого ф тождественно равна нулю.
^является топологическим векторным пространством со счетным базисом
выпуклых уравновешенных и поглощающих окрестностей нуля [14] *:
* См. также кн. И о с и д а К. Функциональный анализ. Перев. с англ. М.,
"Мир", 1967, стр. 42. - Прим. ред.
(1.8)
ОО
т=О
15
Последовательность <p vGe^ сходится к ^c.S', если для всех meZ+
Hm IIФ, - ФIU = 0. (1.11)
v -"оо
Множество BcS' ограничено, если существует последовательность {cm}cZ+,
такая, что
sup || ф ||m <ст для всех т. (1.12)
ч>ев
Локально выпуклое топологическое линейное пространство является полным,
метризуемым, монтелевым и, следовательно, сепарабельным (т. е. имеет
счетное плотное подмножество) [16]. Обобщенная функция умеренного роста
T&S"-это непрерывный линейный функционал на (F, т. е. отображение
ф->Т(ф) - jdxф(х)Т(х)?С = (комплексное число), (1.13)
где
Т (аф + 6ф) = аТ(ф) -j- ЬТ(ф) для всех ф, ф ? е?' иг, Ь?С и Пт | Т (Фч) Г
(Ф) | = 0, (1.14)
V-*O0
если
lim || фч - ф ||т = 0 для всех m ? Z+.
V-"оо
Сильная топология в S' определяется несчетным множеством полунорм [15]:
/?в (Т*) = sup | Т (ф) I, В ограничено в S'- (1-15)
Последовательность 7\ (~3" сильно сходится к нулю, если 7\ (ф) стремится
к нулю равномерно на ограниченных множествах Вс S'. Можно показать[14],
что любая слабо сходимая последовательность 7\ €zS" (т. е. такая
последовательность, для которой 7\ (ф) сходится для всех фcS') сходится
также в сильной топологии в of"'.
Пространство S" также локально выпуклое и полное. S' является сильно
дуальным к S", т. е. S' и S"рефлек-тивны.
Глобально каждая обобщенная функция умеренного роста имеет конечный
порядок [14]: для любого Т существуют такие с<оо и m<=Z+t что
|^(ф)1<с IMU Для всех ф?^т. (1.16)
16
Если определить обобщенную производную в 8 с помощью непрерывного
линейного отображения Т-*--+DmT, где
фтГ)(ф) = (- \)WT(Dm<f), (1.17)
то из (1.16) следует, что все Т<=8' могут быть записаны
в виде
Т (х) = (1 + || * ||2)m/2D"T (х), (1.18)
где m, u<=Z+) а т(х)-непрерывная ограниченная функция на Rn "Формула
интегрирования по частям" (1.17) для дифференцируемых функций умеренного
роста сводится к обычному дифференцированию и обеспечивает для обобщенной
функции умеренного роста в 8' бесконечную дифференцируемость независимо
от порядка частных производных.
Преобразование ФурьеоГ, фе<?Г(#")->ф=с^Ф, гДе
y(p)=(2n)-nl2jdxeipxq>(x), (1.19)
определяет топологический изоморфизм 8(Rn), обладающий свойствами:
Dm ("Г ф) (р) = (2п)~п!2 J dx е1 рх (i х)т ф (х);
(-i р)т ф) (р) = (2я)~"/2 j dx е1 рх Dmф (х). (1.20)
Преобразование Фурье расширяется на 8'(RTi) при дуальном отображении
(сГЛ(ф) = 7,(сГф). (1.21)
Топологический изоморфизм^, 8'(Rn)^~8'(Rn), с помощью формулы Планшереля
сводится к обычному преобразованию Фурье на L2(Rn)cz8 (Rn).
Согласно (1.18), пространство 8'(Rп) является пространством обобщенных
функций, которые не слишком сингулярны (ни локально, ни на
бесконечности). Для локальной квантовой теории поля, сформулированной в
8", что приведет к дисперсионным соотношениям с конечным числом вычитаний
для двухчастичной амплитуды рассеяния (см. гл. 9).
Перенормируемую теорию возмущений также можно построить естественным
образом в 8'- Это очевидно для фейнмановского пропагатора
А (р) = Иш Р (р) [(р, р) - т? + 1 е]-1,
е | 0
17
который можно представить [17] в виде суммы элементов из 0м (Я4) и
0'с(Я4). Здесь 0м - пространство всех функций, которые вместе со всеми
своими производными полиномиально ограничены [14]; 0/с=<^'0м-пространство
