Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
1!
странства I), как оказывается, следует из других предположений теории.
Все время будем пользоваться картиной Гейзенберга. Физически реализуемым
состояниям соответствуют единичные лучи в 9. Наблюдаемые фигурируют в
виде самосопряженных операторов, спектральные проекции которых описывают
соответствующий опыт с ответом "да" или "нет".
Не требуется, чтобы физически реализуемые состояния были плотными во
множестве всех единичных лучей в Jj; не требуется также, чтобы алгебра
фон Неймана [4] всех наблюдаемых состояла из всех ограниченных операторов
в fj . Хотя у нас нет необходимости в определении, какой из векторов
пространства I) физически точно реализуемый, следует помнить, что 1)
разлагается на прямую сумму когерентных пространств с плотным множеством
физически реализуемых состояний*.
Симметрия-это взаимно однозначное отображение физически реализуемых
состояний на себя, сохраняющее вероятности переходов. Согласно теореме
Вигнера (см. работу [5]), оно всегда может быть представлено в виде
набора унитарных и антиунитарных операторов, связывающих когерентные
пространства в f). Компонента единицы топологической группы симметрии
всегда может быть (при весьма слабых предположениях о непрерывности)
реализована в каждом когерентном подпространстве f) в виде непрерывного
унитарного представления группы G с точностью до мультипликативного
множителя [см., например, для группы Галилея (3.12)].
Для важного случая представления компоненты единицы iL+ неоднородной
группы Лоренца с помощью лучей Вигнер и Баргманн [6, 7] показали, что
допустимой заменой множителей можно получить непрерывное унитарное
представление универсальной накрывающей группы iSL (2, С) подгруппы iL+.
Однозначность и двузначность этих представлений для iLf. приводит к
хорошо известному в релятивистской теории правилу суперотбора [8].
* G. G. Wick, Ё. P. Wigner, A. S. Wightman. Phys. Rev., 88, 101 (1952);
Стритер Р. Ф" Вайтман А. С. [2], гл. I.-
Прим. ред.
12
Абелева группа трансляций является инвариантной подгруппой группы iSL(2,
С). Согласно теореме СНАГ *, непрерывные унитарные представления U(a, 1)
в сепарабельном гильбертовом пространстве имеют вид [8]
U{а, 1) = jе'(р' а> dE(p), (1.1)
где мера йЕ (р) - проекционный оператор в § и р пробегает А+-инвариантную
область в R4. Используем обозначение (р, а)-р°а°-(ра). Инфинитезимальные
генераторы
P* = №dE(p) (1.2)
являются наблюдаемыми полной энергии - импульса. В разумной с физической
точки зрения теории энергия должна быть ограничена снизу, что вследствие
лоренц-инвариантности ограничивает меру dE(p) замыканием будущего
светового конуса
У + = {р:р° > 0, (р, р) > 0). (1.3)
Чтобы избежать трудности, возникающие в теориях с частицами с нулевыми
массами, сделаем следующее более узкое квантовомеханическое
предположение.
Аксиома I. Состояния описываются единичными лучами в гильбертовом
пространстве и преобразуются по непрерывному унитарному представлению (а,
А)->--+U(a, А) и группы iSL(2, С). Если не считать одномерное собственное
пространство с энергией - импульсом, равным 0, натянутым на вакуум
Q, то спектр оператора энергии- импульса Р?- лежит в V+={p? V+,
(р, р) ^ш2} для некоторого т^>0.
Ясно, что конкретная теория ограничена более детальным описанием спектра
оператора . Многочастичный спектр обсуждается в гл. 5.
Теория поля
Классическое релятивистское поле Та (х) является решением системы
уравнений в частных производных, ковариантных относительно группы
симметрии iL+ специальной теории относительности. В преобразовании
.
________________ х = Ах-\-а, (a, A)?i L+, (1.4)
* Теорема Стоуна - Наймарка - Амброза - Годемана.- Прим.
ред.
13
Та (х) преобразуется по конечномерному представлению A->S(A) группы L+:
Ta(x) = 2lS(AUTfi(x). (1.5)
Конечномерные непрерывные представления/ накрывающей группы SL(2, С)
группы L+ полностью приводимы. Каждое неприводимое представление
эквивалентно некоторому s], г, 5 = 0, -, 1,..., реализуемому следующим
образом [9]:
2г 2s _
V3' hs = Aal*t П Mffch Т2Д S2s.
(1.6)
где А ? SL(2, С), а | полностью симметричны по индексам, помеченным
точкой и без точки. Все неприводимые матричные представления группы L+
эквивалентны S(A) =Z)[r's](A). [Здесь мы вполне можем Л=Л(А) (jjLj-
обозначить A?SL(2, С).]
В формулировке квантовой механики фон Неймана нам приходится выражать
наблюдаемые поля через самосопряженные линейные операторные поля в f)
таким образом, чтобы для плотного множества состояний ф среднее значение
(ф, Тл (х)ф) вело себя как классическое поле. Можно показать [Ю], а также
явно проверить для свободных полей (см. Упражнение 1), что нельзя
построить нетривиальные ковариантные квантовые поля, которые были бы
определены в отдельных точках. Это обстоятельство вынуждает нас
рассматривать полевые операторы Тх (х) как обобщенные функции, для
которых пространственно-временные усреднения
Га(ф) = fdxq>(x)Ta(x) (1.7)
по соответствующим основным функциям являются наблюдаемыми, что
