Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хепп К. -> "Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля" -> 10

Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.

Хепп К., Энштейн А. Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля — М.: Атомиздат , 1971. — 241 c.
Скачать (прямая ссылка): analitsvoystvaamplitud1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 66 >> Следующая

переходов для всех каналов определяются одним оператором рассеяния S.
ОО
Пусть f) = (r) fjN, где f)0=C, и V множество
N=0
всех Фдг(хь. • ¦, xN)^L2(R3N), полностью симметричных по всем аргументам.
Самосопряженный гамильтониан определяется в f) как (ЯФ) И - НщФя ДЛЯ Ф =
{Фдт) Е Gf) с ФАгеД(Ялг) для всех N и ЕЦЯлгФлг112<ос>. Операторами
рождения и уничтожения в пространстве § являются а*(х) и а(х), а п
обозначает оператор числа частиц.
Так как V(xi-Xj) сферически симметричен, то существует проективное (с
точностью до множителя) унитарное представление группы Галилея G в I},
для которого Я является инфинитезимальным генератором временных
трансляций (см. например, [48]).
Общий элемент (b, a, v, R) eG из группы действует на пространственно-
временные координаты х и t согласно
х-+х' = Rx + vt + a, t ->• t' - t + b, (3.9) с (bu ab vb RJib,, aa,
v2, R2) =
- (bi H- b2, at Ri&z bsvu 4-./?iVa, RiRz).
Для Флг^Д(Hjy)(r)jv(xi, ..., xn, f)==exP(-*Я^)Ф^Х X (xj,..., xn) является
решением зависящего от времени уравнения Шредингера для N частиц
11ГФлДх1 Хдг, 0 = Я^(хь .... xN, t). (3.10)
2 Зак. 954
33
Многообразие решений уравнения (3.10) переносит а в общее, крайне
вырожденное проективное унитарное представление группы Галилея G,
индуцированное отображением
Фы-*и{Ь, a, v, R) Ф":
(U(b, a, v, Я)Ф№)(х|, . . ., х^, t') =
= exp i mN av + vR$N + у v2^ Ф" (xb . . ., xN, t).
(3.11)
Функция (3.11) удовлетворяет уравнению Шредингера для N частиц (3.10) в
переменных (х', t'). Для gfi, eG имеем на Фдг
и (gi)и Ш = exp - i -у- (a^jVa - v^a-s -f
+ bavtR1v$U(g1g$. (3.12)
Если мы вернемся к карти'не Гейзенберга, положив t'=0 в (3.11), то
получим проективное унитарное представление G в каждом из "секторов
суперотбора"
a, v, х") = expi Nm(^------v$N---~".v +
+ у 6v2) (e< ""Ф)" (R-1 (xt + bv - a), . . ., *-"(x" +
+ 6v - a)). (3.13)
Трактовка связанного состояния (3.7) как частицы оправданна, так как
одночастичное состояние
Ф (/)(Яь • • •. qw) = 2$а ДЧъ • • м Чм-iffДЧдг)
S *
под действием (3.13) преобразуется по неприводимому представлению
U(b, a, v, R)'ba(f) = <S>(3.14)
где
?<*. ..". я). ЙЬ - |№ (*> ^ -
- N (ос) mv)) exp i [ JUfZ- av - qa + (^ ft] .
(3.15)
34
В этой теоретико-групповой картине частица а характеризуется ее массой
N(a)m, спином /(а) и энергией Еа.
В разумной с физической точки зрения многочастичной теории ищутся
гейзенберговские состояния
""(/ь ¦ • •> /л), ex = in, out,
описывающие асимптотические входящие или выходящие конфигурации /г частиц
типа он,..ап с волновыми пакетами fi,..fn для движения центра масс и
спино-
вой ориентации. В предположении (3.1), касающегося потенциала, построим
эти состояния как сильные пределы СОСТОЯНИЙ Фа, ап (fi,. . fn, t) В I)
ДЛЯ <->
-"-±<х>. Эти пределы, как этого требует интерпретация свободной частицы,
будут преобразовываться по отношению к группе Галилея как симметричные
тензорные произведения неприводимых представлений [N(a)tn, /(ос), Еа ],
соответствующих каждому куску а:
U(b, а, V, Я)Ф (А,..., U =
~ .........................."л ^ЦЬ.а.в, R)at ' • ¦ fn (Ь, а, V,
В этом смысле взаимодействия система многих тел имеет в качестве
"асимптот" при t-*-±oо системы свободных частиц. В следующем ниже
доказательстве используются классические результаты Кука [49], Хэка [50,
51] и Яуха и Зиннэ [52] о существовании волновых операторов, построенных
по теории столкновений Хаага-Рюэля и инспирированных работой Хунзикера
[53] и Зандха-са [54].
Пусть I)", - линейное многообразие всех Фе!) с Фдг=0 для всех достаточно
больших N.
Для (7,}C<W) оператор вa (f, t) = е+1 ж 2 I dqjl (q) Д., , (q) е^^ + ^*
е~1";
S--j
Ви, s (q)= J dp!... dpjvft., (q!, . . ., qw_,) 6 (qw - q) (#!)-*/. x X
a(-Pi), .. a(-pw) (3.17)
вполне определен на и на вакууме ?2 удовлетво-
ряет условию
ад, о а = о, Ва (/, о* а = ф" (/). (3.18)
2* 35
Теорема 3.1. Пусть V(| х |) удовлетворяет условию
(3.1), а фа, s - условиям (3.4) - (3.6). Тогда операторы Ва (Д t) и Д*
(/, О* Для {fs}c:Sf(R3) на 1) удовлетворяют неравенствам
II Ва (/, 0(,)Ф || < d || (п + 1)2, . . ., (п + N (а))'/а Ф ||,
(3.19)
II 4t (А 0(*>Ф \\<d'(l+\t |)-8|| л (п + -1)'/.,..., х
X (л+ #("))•/. ф ||, (3.20)
где d, d'<оо не зависят от Фе|м и t, а 6=у для у<3/г; 6=у-е, е>0-сколь
угодно малая величина, больше нуля для У = 3/г; б = 3/2 для у^>3/г- Тогда
существуют линейные операторы аГ (f)(,) на §",, такие, что
lim П Да.(Д, /)* Ф = П of(&)<*>Ф (3.21)
<->+ooi=i ' i=i '
существует для Ф?^м с ^х(§)] = °. и Для всех
(b, a, v, l?)eG имеет место ?/(&,a, v,S)of (/)<'>?/(?, a, v, Д)-" = af
[f(b а>v>
(3.22)
Доказательство. Предположим, что Фе 1)м с Фдг(хь ..., хм, 0 таким, как и
в (3.10). Тогда в силу неравенства Шварца
Да(/, 0* ф = е* ш 2 J dpi, • •^РлА, • • •• drM X
,( q'n ,ГЬ
x$,. s(qi,.... q^-i) h (qw)e 2mN Ф"(ръ • • •> гм> Ox
x (M!iV!)-'/!al- Pl)*,. . ., a (- rM)* ?2 (3.23)
удовлетворяет условию
IIва(/, о*ф||а< (-^ррР1,...,|2Д(Ча/)х
X 'Фа, s (qi- * • •> qлг 1) |2 Jdn, ¦ • м drM | Фд1 (Гх, . . Ги,
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 66 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed