Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
/=о
. . • ]]] б(я- 1, . , / + 1)0(/, Г1,. . . , 1, 0)х
X {в(/ + 1, /) 0(ге, /) -0(ге, / + 1)00* + 1, /)}. Пользуясь тождеством
0(/ + 1, /)0(ге, /) = 0(ге, } + 1)0(/ + 1, /) +
+ 0 (/ + 1, я) 0 (ге, /),
мы находим
ref 0(ге- 1, ге- 2, . . . , 1, 0)[ге- 1, [ге-2, [. . .
. . . , [1, 0], . . . ]]]= 2 0(я- 1, . . . , ге, /, . . .
1=0
• • • > 1 > 0) [ге 1, [ • . . , [re, [j, [. • . , [1* 0], . , .
- П. (1.3)
133
Отсюда следует по индукции, чтб
п f (n- 1) f • . • f 1 f 0 = 2(r) (лп< • • • " л 1 > 0) X
Я ЯО-О
Х[яя,[я(я-1), [. • . ,[я1,0]. • . 1]]=^°.
При помощи аналогичных вычислений получим п j 0(п-1,. . . , 1, 0) [п- 1,
[п-2, . . . [1, 0], . . . 111 =
= 2 е(я-1 i> п> • ¦ • > °)х
/=О
Х[л- 1, [ • • .,[/,!",[. • • , 11, 0], . . . ]]], ... Ц.
(1.4)
Из формулы (1.3) заключаем по индукции, что pi (-р - 1) $... $110 может
быть выражено как сумма (д + 1)-кратного опережающего коммутатора и
линейной комбинации коммутаторов и опережающих коммутаторов с меньшим
числом переменных. Более точно, если предположить, что для всех р^п- 1
имеет место
PKP-DI . . . mo = pt(/j-i)t . . . tit 0+
+ f/o f • • • I1 in 1/''+! t * • * f js* l • • •" l/l f • • •
• • • 1" /p)' • • • 111"
то это свойство остается верным для р = п в силу формулы (1.3) и в силу
соотношения nf=nf-adn.
Как и в § 1, отсюда следует, что существует открытая область
действительного импульсного пространства, где преобразования Фурье
вакуумных средних ntn - - 1 Ф... Ф1 Ф 0 и nfn-If.. .flfO совпадают. В
частности, эта область содержит множество
{p:pl< 0, уХ). (1.5)
Нетрудно показать при помощи той же техники, что преобразования Фурье
вакуумных средних всех мономов Штейнмана совпадают друг с другом в
области (1.5). (Это в конечном счете приводит к отождествлениям мономов
Штейнмана с Л8, поскольку, как это будет видно, преобразования Лапласа
вакуумных средних мономов Штейнмана аналитичны в трубе видаеТ'5. Так как
их граничные значения в области (1.5) совпадают с rs° и поэтому также с
г8, они совпадают с г3 везде.)
134
Замечание. Рассуждения в настоящем параграфе до сих пор применимы также к
случаю, когда регуляризо-ванные полевые операторыAflxj) = Afkq>j(xj)
заменяют везде "операторы" Aj(Xj). Тогда законно формальное умножение на
0-функции. Однако результаты, которые мы выведем ниже, требуют наличия
"резкой" локальной коммутативности. Вызываемые регуляризацией модификации
будут кратко описаны в конце настоящего параграфа.
Теперь покажем, пользуясь методом индукции, что носитель функции
В(р,р- 1, . . 1,0) [р, [р- 1,1. . . ,[1,0],. . .]]]
содержится во множестве {х:хр- x0eF+}. Предположим, что это имеет место
для всех р^п- 1. Тогда для q^р имеем
0(р, . . . , 0)[р, [р- 1, . . . , [1, 0] . . . ]] =
= (r) (Рг • • • " Я) [Р" (Р ^• • * "1*7 ~* • •
.... 0)[<7, [<7-1, [ - . . ,[1,0], . . . ]]]}] ...]],
поскольку носитель этого выражения содержится в множестве {х : xq -
x0sF+}.
Выражение
0(п, п - 1, . . . , 1, 0)[n, [п - 1, [ . , . , [1, 0], . . .
. • . ]]]=;2в(/1, я-1,. . ., о)[п - 1, [. . .
1=0
. • • , ЦП, /], [/- 1, [ . . . , [1, 0], . . .,]]], . . . ]]
имеет носитель, содержащийся в U {х:хп - r,-eF+},
j<n
так как 0(я, п- 1,..., О)=0(ге, п-1,..., О)0_(я, /) и [п, /] имеет
носитель, лежащий в {х\хп - Xj^F+U F-}. С другой стороны, такое выражение
может быть переписано следующим образом:
0 (п, п - 1) [п, 0 (п- 1, . . . , 1, 0) X
X [п - 1, [ . . . , [1, 0], . . . ]]],
так что его носитель содержится в
{x:Xj - xo?F+, 0</<я-1),
как это можно проверить на основе предыдущих замечаний и методом
индукции.
135
Если х - точка носителя, то она должна удовлетворять условию
xn~Xl?V+, Xj-X0&/+
для некоторого /е{0,п-1}; поэтому хп - x0^V+ и, Наконец, Xj - x0^V+,
0^/^п. Это и доказывает наше утверждение.
За м е ч а н и е. Случай регуляризованных полей отличается от
рассмотренного выше случая, однако мы имеем
supp [AJ (xt), А\ (х*)] С {x:Xj - xk eF+ (J V~ + supp Ф/ - supp q>A}.
4/2
Рис. 1. Носитель функции <pj. Рис. 2. Носитель коммутатора.
Пусть а=(а°, 0, 0, 0) (а°>0) - четырехмерный вектор, такой, что для 0^/^п
suppq>/ с| + -?-SP+, х----
(рис. 1).
Тогда
supp [AJ (Xj), AJ(xk)] с. {x-.Xj - xk& (V+ - a) U (V~ + a)}
(рис. 2.)
Теперь легко показать методом индукции, что
в(Р 0) [р, [р-1, [..., [1, 0]...]]]
имеет носитель, содержащийся в
(x:Xj - х0 е V+ - ра}.
Это свойство справедливо для р= 1. Для высших р доказательство аналогично
доказательству, данному для случаи "резкой" коммутативности.
!3§
Теперь приступим к изучению носителя р$ (р- 1) i...
... 1ФО. Предположим, что для каждого р^п-1 и для каждого j(0<j^p), 33
которым следует стрелка | (| соответственно), pt...jt... $0 может быть
написано как сумма членов, каждый из которых содержит фактор вида
в(/, Г, . . . , k)[}, [г, . . . , [ , k], . , . ,]]
(соответственно
0 (&, . . . , г, ])[k, [г, , . , ]]),
где &</. Это, очевидно, верно для р=1.
Рассмотрим теперь $0; упомянутое свойство остается верным в силу формул
(1.3) и (1.4), доказанных выше. Поэтому оно справедливо для всех р.
