Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
или p^zk+2
р-1 р-\
У. s_.,.
так что (ТхР=(Тя?, что и требовалось доказать.
CSW (х), рассматриваемая как обобщенная функция в ^-пространстве, имеет
носитель, содержащийся в выпуклом конусе. Отсюда следует, что ее
преобразование Фурье в импульсном пространстве СРЖ является граничным
значением голоморфной функции в трубе в комплексном импульсном
пространстве, причем базис этой трубы лежит внутри конуса, дуального к
носителю CSW в ^-пространстве (см. работу [5] н гл. 2, 3). Чтобы иметь
предварительное представление о форме этой трубы, предположим, что только
временные компоненты четырехмерных векторов kn(kj = pj+iqj) комп-
лексные, а все остальные переменные действительны. Мы можем написать
(я, <3)^7*) = П 0(-а^Г)ЖрМ.
Л=1
Преобразование Лапласа этой функции как функции в импульсном пространстве
выражается наилучшим образом в переменных
*/=? ^ = ^/+iQf,
r=i
сопряженных с переменными |*. Преобразование Лапласа тогда задается
выражением
(*,. 1= XT,(x)d*?? • • •
Очевидно, что если мы положим k/ = р/-И?/. &j = Pj, то приведенный
интеграл после сглаживания по переменным
Я/
123
pj с помощью основных функций будет определять функцию от k°, голоморфную
в трубе {kP-.QfoJ* <0,
^"}. Из определения orffe следует, что эта область аналитичности всегда
содержит множество {&°:<7°eS}. Таким образом, область аналитичности
преобразования Лапласа Cs<W<p относительно переменных содержит трубу
{k°:q°eS}. Такое заключение справедливо также для CSW. Введем теперь
некоторые дополнительные обозначения: пусть rs(p) и /ф(р)- преобразования
Фурье соответственно С^ и C^W в импульсном пространстве. будет обозначать
оператор
(*)= {п 6(-Ц*)} х
Я 1/ = 1 >
ХЛ,оЖфпоЫ- • •4***Ф)В, (*",)"
a As(x) иногда будет обозначать формально такое же выражение без
регуляризации, существование которой предполагается. rs(x) и />(*)
соответственно будут обозначать преобразования Фурье rs(p) и Гф(р), a
H's(k) и Н ф (k) соответственно преобразования Лапласа fs(*) и г^(х),
граничные значениям rs(p) и г%(р) соответственно.
'S'
Действительно, можно показать, что Яф {к) голоморфна в трубе ifs,
определяемой в комплексном импульсном пространстве следующим образом:
<rs= [k = p + iq, q,?V+ для s, >0 в S}.
(Насколько мне известно, этот результат может быть получен для n-точечной
функции только как следствие работы [20], к которой мы вернемся позже.)
Соотношения совпвдения в импульсном пространстве
Пусть S' и S" - две ячейки в Sn+i с общей поверхностью на гиперплоскости
<>*=0. Под этим мы подразумеваем, что все частичные суммы s7, для которых
1фХ и 1ФСХ, имеют один и тот же знак в S' и S", a sx= - -sex имеет
обратные знаки в S' и S"; мы предположим в качестве примера, что sx>0 в
S' и sx<i0 в S" (здесь ХФ Фи СХФФ).
124
Если мы напишем выражение для <?s> - С8"
с5' - с3'' - 2 К0")(я*-0 - e") (я- °5')1 >
я
Sf S*
то увидим, что аж =ог* , если Х={яО,яг} или СХ= - {яО,я(я + 1-г)}, где г
- число элементов X. Поэтому существенными членами в выше написанном
разложении являются только те, для которых я обладает этим свойством.
Пусть
X {/о, . " • , jr-1} * СХ - {jn • • > /л}*
Если Х={яО,..., яг}, то мы обозначим Я1 и яг перестановку X (СА),
определяемую условиями iiijk=nk(Q^ -1) и n2jh - nk, r^k^n соответственно.
Тогда я будет обозначаться Я1Л2. Положим также
= (oj, • . . , о\~1), о{ = с?/ = asJ для 0 < / < г - 1,
= (cT2+1, • . • , 0Г2), о!2 = asni = сф для г + 1 < j < п.
Имеем
Стл = + Sign 2] S"j в S.
/-О
Таким образом,
где 5]-ячейка, определяемая на гиперплоскости s*=О в переменных {sj}je*
через неравенства, справедливые в 5' или S", a S2 - ячейка, определяемая
аналогично в переменных {s^jecx- Более того, поскольку sx>О в S' и s^<0 в
S", то мы имеем <x?v = l, <xf r = - 1. Обозначим
= °л = СТ1< С2,
тогда
е(а"')(я, а?') = е (оу) е (<т2) (я^, ст:> <х2),
8(°я ) (п' а11 = ~ 6 Ы е (°з) (ЛЛ. О! < <х2).
Аналогично если Х={я(гс-И- г),..., яя}, то я может обозначаться как Я2Я1
(причем Я] и я2 - перестановки X и СХ соответственно), и
°я = °2<°ь of = о2 >о,
125
8 (°л) (Я' °Я ) = -е (а") 8 (Gl) (Л*Л1> Оа < Gj),
8 К) (я' стя) " 8 (°а)8 (CTi) (л2^1. оа > Oj). Обозначения те же, что и в
первом случае. Отсюда
•С-Х-2 (п0(-°й№с)х
HlJtj \k=i я
X п в(-"а,^0)!и;",(\.,.).- • ¦
k=r+1 R )
•••' Alir^(X^rJ' AtiSX"*i)' • • •• Л1/п(^/п)] = = [<4'.e4!] (1.D
(мы обозначили df = dj^ ср,). Напомним, что 5] и 5г являются ячейками,
определяемыми в терминах переменных {sj}/<=x и {SjJjecx на
гиперплоскостях {sx=0} и scx=0 соответственно посредством приписания
каждой частичной сумме sj, Ic:Х или IaCX того знака, который она имеет в
S' или S". Аналогичная формула имеет место для ds' и ds' постольку,
поскольку эти выражения определены. Так как в настоящих лекциях мы
принимаем, что можно определить fs= (Q, dLsQ), то мы имеем
7s'-75" = (Q, U\ ds*\ Я),
причем последнее выражение следует принимать как соответствующую сумму
произведений функций Вайтмана на 0-функцию.
Первым применением этих важных формул является доказательство того, что
