Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
f) |2 ="
= С(М + 1) (М + Я)||Ф||Д (3.24)
36
которое показывает, что неравенство (3.19) может быть
"-Ч А
расширено вплоть до Д ((п+1) Vi, • • •, (n+JV(a)),/s) -Если ограничим Ф
на область ((мП А (Дм), тогда сильный предел
lira г-' (В. (/, t + т)* - Ва (/, Q*) Ф = 4 О* Ф
т-"о а/
(3.25)
существует и может быть получен почленным дифференцированием. Используя
Hk -Hi + Vk на Д(Д*°), а также (3.7), после выполнения алгебраических
операций получаем для предела выражение
- ад, *)*Ф=м Ш,г-еи'Ых1,. . ., dyM X
dt u ' (MINI)1* J
Х2/Д5*. 0e~i?"' ф., s&, • . ^_,)У(Хг^
S
- yi) Фд, (У1 Ум, t)a (xx)* a (yM)* Q, (3.26)
где fs(|, t)-решение свободного уравнения Шредин-гера, удовлетворяющего
для fse <fr (#3) условию [55]:
fs (5. О = (2я)-а/, J dpfs (р) exp - i t - pg) =
" ) U J d^s (ть 0) exp ' "IT ^ ~ ^ для *ф °'
(3.27)
Для квадратичного интегрируемого потенциала У(х) из (3.26), используя
неравенство Шварца, сразу получаем
2<(ЛШ)а(М + Л7)!(М! Л7!)-1 X
4-ад 0*Ф
at
X J dXx, . . ., dyM | 2/j (ijvi 0 Фа> s (§1, • • •> (xi У1)"
I Ф" (У! У*, 0 |a < {NMf (M + 7V)!(M! A7!)-1 X
X 2 sup fs, (g, 0* /, (g, 0 Jdxb..., dy^ f ,(gl,..., §"_,)* X
ss" 6
xi, s(gi, • •^-i)^(xi-yi)a;
I Ф* (У1, • • у" t) |a < d' (1 + 111)-'/4 АР (M -f 1), . . .
. . ., (М +Л7)||Ф|[*. (3.28)
37
Если V удовлетворяет (3.1) с у^3/2, то более аккуратная оценка [54],
выполненная с помощью разделения области интегрирования, опять приводит к
(3.20). С помощью мажорирования, аналогичного (3.28), можно убедиться в
сильной непрерывности dfdtBа (/, t) *Ф по t для Фе1)мПЛ(^м). Для такого
Ф, используя известные свойства [56] интеграла Римана в банаховом
пространстве, получаем выражение
г
I a {f, ty ф - a {f, о*ф II = I а (Л о* ф
f
г
< d" '
<
J dt (1 + 111)-511| n {n + 1 )*/< ...{n + N (a))Vs ф ||,
r
(3.29)
сходящееся к нулю для V, f7-"-±oо. Ввиду полноты § последовательность
Коши имеет единственный предел at* (/)*Ф. Неравенство (3.29) можно
расширить до
А А А"
Д(л(л + 1),/г,..., (n+N (а))*/г). Используя также аналогичные оценки для
а (/, *)Ф и d/dtBa(f, ^)Ф, можно доказать существование линейных
операторов (/)* с at*(/)(*)f)ooG()oo, а также сильную сходимость (3.21).
В частности, сильные пределы
Ф"...ъ(Л fn)= Пт ПВаЖ t)*Q (3.30)
п <-,±00 <=1 1
существуют и являются хорошими кандидатами для состояний рассеяния: они
полностью симметричны по отношению к перестановкам чисел 1,..., п ввиду
равенства
[af (/)*, cf (?)*]_ = lim [а {f, t)*, В? (g, *)*]_ = 0,
и они преобразуются относительно группы Галилея как система независимых
частиц, так как соотношение
U (b, а, V, Я) а (Л t)VU{b, а, V, Я)~> =
= В. < + ")<•> (3-31)
доказывает галилей-ковариантность асимптотических полей.
38
Теперь покажем, что асимптотические поля удовлетворяют коммутационным
соотношениям свободных полей. Следующая теорема (принадлежащая Йосту)
формулируется на основании доказательства ортогональности областей
определения (входящих и уходящих) волновых операторов для различных
каналов [57].
Теорема 3.2. В предположениях, упомянутых выше,
Iaf(f), al*(g)*L = M/,g)a на fy", (3.32) /<">
где (f, g)a = 2 J^P/(P)*g:(p)i-
s=--/ (a)
Доказательство. Если N{a) = N(P) = 1, то справедливость (3.32)
доказывается тривиально. Для остальных случаев вычисляем [Д* (f, 0. 5p(g,
0*]фм Для Фм^$м-Без учета 6a? (f, g)a Фаг получаем сумму членов типа
eiHi с J dyi,. . ., dyN dzlt. . ., dzM X
X Ч>. (У1. • • •• y*. *!, • • •> "we,V) ^(Уь • • •. yW(P). f) Фм (Zi, • •
• • • •> zm> 0a*(y*+1),. .a*(yW(P))a*(z (ot)_ft+1),. . .
(3.33)
где Фр(Уъ • • •> Улг(р)" 0~^(Члг(р)" 0Ч*р. s(4i> • • •> 4vv(P)-i)X Хехр(-
i E?f) и
Фа(У1> * • •> У*> Zl> * • •> ZjV(oi)-A' 0 =
= a)" • • •> SjV(a)_i) exP (i ^a0
ДЛЯ
4 = Уi, 1 < i < k, xt = Zk_., k + 1 < i < N (a).
Здесь k^l, а также N(a)>k или N($)^>k. Согласно неравенству Шварца,
квадрат нормы выражения (3.33) может быть мажорирован выражением
^J* ^Уа-и' ¦ * ¦' dy(a)-а-н ' •••> dz\^ jdyi, ..., dyk X
XdZl........dzM(oi)-A (У1........ У*> zl> * • 4
X Фр (yi, . . ., Удг (p) > f) Фм (Zi, . . ., ZM, t) |2
< d || IP J" dyA-J-l' • • •• ^Уа• • •> dZN(a)-A X
39
х 1 dy#e(yi, . . у*, %!, . . ., гЩа)_к, f) x
N(t) N№
X fy(yi, ¦ . Ул, (P), о I2 = J П dpi П dq; X
/лг(") \a
2 *
X -F(Pi, • • P"w, <h, • • Члг(р))е*Р^[ "
/ * лг((3) \2 Ik ЛГ(") \а /лгш \2
2 pj+ 2 чу) (2ч/+ 2 p^l (2 яп
\ /=1 /=6-Ц / \f=l f^fe+1 / . \ /=.1 /
2mN (P) 2mN (a) 2mW(P) .
(3.34)
где ^е1'(/?3(вд+ад)). Так как квадратичная форма в экспоненте не равна
тождественно нулю, то (3.34) стремится к нулю при t-*± оо согласно лемме
Римана- Лебега, что и требовалось доказать.
Пусть ()ех - подпространство, натянутое на {Ф",х.
и й, а fjln и f)out - пространства Фока на общих одночастичных
пространствах (r) f)\N(a)m,
а
/(a), ?¦*]. Далее, оператор рассеяния S, определяемый как
5Ф"'.... ""(/;. • • •, L) = Ф'?.....%(/ь • • /"), SQ = О, (3.35)
изометричен согласно теоремам 3.1 и 3.2. С точки зрения физики важно
знать, унитарен ли оператор S и являются ли асимптотические состояния
