Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
В случае регулярного представления (7.132) левый идеал J2’l является инвариантным подпространством, поскольку — Jg’l для любого элемента s алгебры А. Так как регулярное представление вполне приводимо, пространство А должно быть прямой суммой левых идеалов, т. е.
А=^х + ^2, (7.136)
где
s-2’, = -2’1. sJ3?2 = J3?2. (7.137)
Всякий элемент алгебры А однозначно представляется в виде суммы элемента, принадлежащего и элемента, принадлежащего Л?2\
единственным элементом, принадлежащим одновременно ЛЗ’х и J2?2, является 0. Матрицы D(s) регулярного представления приводятся к виду
D(s) = Dj(s) + Da(s). (7.138)
где Di(s) — матрица линейного преобразования, индуцированного в JS’i умножением слева на элемент s.
Единичный элемент е группы О принадтежит групповой алгебре А и обладает тем свойством, что
es = se = s (7.139)
для всех элементов s алгебры А. Если А представляется в виде
прямой суммы двух левых идеалов, как в формуле (7.136), то еди-
ничный элемент е можно единственным образом представить в виде суммы
е = ех-\-е2, (7.140)
где ех принадлежит а е2 принадлежит Аналогично любой элемент s алгебры А однозначно представляется в виде
s = sj + s2. (7.141)
Подставляя (7.140) и (7.141) в (7.139), получаем
s = s1—|— s2 = se = s (gj —|— e2) = se] -)- se2. (7.142)
§ 9. Групповая алгебра
287
Так как J3?j и J3*2— левые идеалы, то sel принадлежит a se2 принадлежит J?2, так что
sI=seu s2 = se2. (7,143)
Если s принадлежит то s = su s2 = 0, и соотношения (7,143) означают, что для всех s из
s = sel> se2 = 0. (7.144)
В частности, для s = е1
ег = е2и ?^2 = 0, (7,144а)
Аналогичным образом для s из J3’2 получаем
s = se2< sel = 0, еч = е\, е2е1=0. (7,1446)
Элемент е1 является идемпотентом, т, е. е2 = е1; кроме того, идеал порожден элементом еи так как при всех s из А элемент принадлежит Если s принадлежит то se! = s. То же замечание справедливо и для е2 из щ3’2. Кроме того,
ехе2 = е2ех = 0.
Разложение единичного элемента (7.140) на части, принадлежащие ,3’1 и J?2, дает нам образующие элементы левых идеалов и 2 (разложение Пирса),
В свою очередь левые идеалы щ3’1 и J3?2 могут содержать подалгебры, которые будут левыми идеалами. Если идеал J3? не содер* жит собственных подидеалов, то он является некоторым неприводимым представлением алгебры А. Такой идеал называется минимальным. Продолжая этот процесс, мы приходим, в конце концов, к представлению алгебры А в виде прямой суммы минимальных левых идеалов:
^4 = -?! + -?’ 2+...+-2V (7.145)
Левый идеал J2?i порождается идемпотентом eh и
ej=^eh e^j — Q при 1Ф (7,146)
Из наших предыдущих рассуждений ясно, что образующие элементы et мы находим, разлагая единичный элемент е на его компоненты в пространствах k:
е — el-\-е2-\-. . .ек, (7.147)
288
Глава 7. Симметрическая группа
Идемпотент є называется примитивным, если его нельзя разложить в сумму идемпотентов, удовлетворяющих условиям (7,146), Мы предоставляем читателю простое доказательство следующей теоремы.
Теорема. Если є — примитивный идемпотент, то левый идеал J3? = Лё минимален. Наоборот, если J3? — минимальный левый идеал, то любой элемент, порождающий Л?, примитивен.
Эти рассуждения можно продолжить и вывести все теоремы гл. 3, но вместо этого мы обратимся теперь к нашей задаче для частного случая симметрической группы,
§ 10. Операторы Юнга
Из последнего параграфа мы знаем, что всякий идемпотент et порождает левый идеал J3*h задающий некоторое представление, содержащееся в регулярном представлении. Более того, поскольку (отличные от нуля) численные коэффициенты несущественны, элемент et, удовлетворяющий соотношению ej = ae[t будет также пригоден для нашей цели, поскольку е^а — идемпотент.
Рассмотрим, в частности, элемент
(7.148)
R
где сумма берется по всем перестановкам группы Sn. Так как для любой перестановки 5 произведение
SP = '2iSR=P, Р2 = п\Р,
R
то отсюда следует, что Р является образующим элементом. Если Р умножить слева на величину
S
то получим
sP = 2 asSP = (2 as)jD-і-
Таким образом, левый идеал АР, порожденный элементом Р, состоит из кратных Р. Идеал АР представляет собой одномерное векторное пространство. Умножение слева на перестановку 5 не изменяет элемента аР, поэтому в нашем представлении каждому элементу группы ставится в соответствие число 1; это представление является единичным представлением.
§ 10. Операторы Юнга
289
Точно так же элемент
q = Sm
R
является с точностью до множителя идемпотентом, так как
SQ='2i6RSR=6sQ,
R
откуда
Qi = n\Q.
Элемент Q порождает одномерный идеал, состоящий из кратных Q. Умножив слева на элемент группы S, получим знакопеременное представление.
Чтобы найти другие неприводімьіе представления, воспользуемся рассмотренными нами ранее в этой главе таблицами Юнга.
Для каждого разбиения (^) числа п начертим схему Юнга. В клетки этой схемы впишем в произвольном порядке числа 1,
2......п, в результате чего получим некоторую таблицу Юнга. После
того как таблица фиксирована, рассмотрим два типа перестановок. Горизонтальные перестановки р — это перестановки, при которых меняются местами только символы, стоящие в одной строке. Вертикальные перестановки q меняют местами только символы, стоящие в одном столбце. Образуем величины
