Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
2 брР. (7.119а)
р
Применяя к ф операторы, подобные операторам (7.119) и (7.119а), мы можем попытаться построить вырожденные собственные функции, обладающие различной симметрией. Чтобы указать свойства симметрии функции, мы будем помещать частицы, относительно которых функция антисимметрична, в фигурные скобки, а частицы, по которым функция симметрична, — в квадратные скобки. Если символы, обозначающие какие-либо частицы, стоят вне этих скобок, tj о симметрии по координатам этих частиц ничего не предполагается. Например, функция
ф ({1 2 3} [4 5] 6 7) (7.120)
антисимметрична по частицам 1, 2, 3; симметрична по частицам 4, 5; по поводу же ее симметрии либо антисимметрии по частицам 6 и 7 никаких утверждений не делается. Более того, a priori мы не располагаем никакими сведениями о том, симметрична или антисимметрична функция по любым частицам, которые не входят в одни и те же скобки.
Во всяком случае, исходя из нашей первоначальной собственной функции, мы можем выполнить перестановки и составить линейные комбинации, чтобы построить эквивалентные собственные функции, обладающие определенной симметрией. Например, взяв за исходную функцию ф(1, п), можно попытаться симметризовать ф по всем
частицам, применяя симметризатор (7.119) ко всем п частицам. Мы получим эквивалентную собственную функцию
ф([1 2 3 ... л]). (7.121)
Может представиться случай, когда первоначальная функция ф (1, ...,я), из которой мы исходили, такова, что функция (7.121) тождественно равна нулю. Так произойдет в том случае, если исходная функция ф антисимметрична по любой паре частиц. Если ф([1 2 ... n]) = 0f
276
Глава 7. Симметрическая группа
мы попытаемся симметризовать ф по любым я — 1 частицам, например применим к исходной функции ф симметризатор по всем частицам, за исключением я-й, затем ко всем частицам, кроме (я—1)-й и т. д. Если все получающиеся при этом функции обращаются тождественно в нуль, мы попытаемся симметризовать ф по (я — 2) частицам и т. д. Если после этих тяжких трудов мы обнаружим, что не можем провести симметризацию ни по одной паре частиц, то это должно означать, что наша исходная функция была полностью антисимметрична по всем п частицам. Вполне аналогично мы могли бы попытаться антисимметризовать нашу исходную функцию ф(1, ..., я) по всем частицам с помощью оператора (7.119а) для всех п частиц. Если
получающаяся при этом функция ф({1..........я}) тождественно равна
нулю, мы попытаемся антисимметризовать исходную функцию по (я—1) частицам. Если, продолжая этот процесс, мы обнаруживаем, чго не можем антисимметризовать ф ни по одной паре частиц, то наша
исходная функция была полностью симметричной.
Для примера рассмотрим случай трех частиц. Начнем с собственной функции ф(1, 2, 3). Применим симметризатор и получим ф([1 23]). Если эта функция не равна тождественно нулю, мы скажем, что ф обладает симметрией типа 5(3). Если ф([1 2 3])=0, то мы попытаемся симметризовать исходную функцию по двум частицам и
получим, например, функции
ф([1 213) и ф([1 3] 2).
Если обе эти функции не обращаются тождественно в нуль, мы скажем, что ф обладает симметрией типа 5(2-|-1). Если же они обе равны тождественно нулю, то функция ф антисимметрична по трем частицам и обладает симметрией типа 5 (1 -|- 1 -|- 1). Точно таким же образом можно было бы попытаться антисимметризовать функцию ф. Получились бы следующие результаты:
ф({1 2 3}) — антисимметрия типа А (3),
ф({1 2} 3) — антисимметрия типа А(2 —|— 1),
ф (1 2 3) — антисимметрия типа А (1 -|- 1 -|- 1).
В общем случае мы поступаем точно так же. Мы пытаемся симметризовать исходную функцию по возможно большему числу частиц. Если максимальное число частиц, по которым мы можем симметризовать функцию ф (не получая при этом функцию, тождественно равную нулю), равно Я,,, мы можем переобозначить координаты так,
чтобы эти частицы имели номера 1.........А,], и получить собственную
функцию ф([1 2 ... Я,,] ... я). Оставим теперь эти частицы и попытаемся симметризовать по возможности ббльшую группу оставшихся частиц. Продолжая этот процесс, мы, в конце концов, придем к экви-
§ 8. Метод Хунда
277
валентной собственной функции, имеющей в нормальной форме (5-форме) вид:
~m — 1 т
2^+1.........2 х.
г]) I [ 1 2 ... Хц] [Я,! -|- 1.............................Я,] -|- Я,2] ...
V | '"у
V-I V-I
(7.122)
где
т
А,1 Я,2 Хт и 24 — п-
V-1
Под нормальной формой мы подразумеваем следующее: мы не можем применять перестановки и составлять линейные комбинации для построения из г]) функции, симметричной относительно более чем Xj частиц. Если же мы занимаемся перестановкой частиц Xj —|— 1, ..., п, то мы не можем построить функцию, симметричную относительно более чем частиц и т. д. Если в (7.122) внутри круглых скобок несколько символов фигурируют в конце отдельно, например
ф([ ], [ ] ... п — 2, п — 1, я),
то по этим отдельным символам функция должна быть антисимметричной. Говорят, что функция (7.122) принадлежит симметрии типа
(^i Ч~ ^2 Ч~ ••• Ч~ Хт). (7.123)
Заметим, что имеется полное соответствие между типами симметрии и схемами Юнга, которыми мы пользовались ранее.
