Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
301
Часто равенства типа (7.156) записывают не в разбиениях, а в схемах:
?? ?? ? ® ?
???? ???? ??? ?
??
+ ? ? ???
D + ? + ?
??
??
??
+???+2С ??
??
?
?
]?
(7.156а)
Мы привели общее правило без доказательства, ибо в физических приложениях внешние произведения настолько просты, что результаты можно получать и с помощью элементарных методов.
Легко найти внешнее произведение любого представления (X) с представлением, соответствующим горизонтальной полоске. Рассмотрим сначала внешнее произведение
? ® П
На функции ф(1) и ф(2) не было наложено никаких условий симметрии, так что при перестановке частиц мы можем получить и симметричные и антисимметричные комбинации
Таким образом,
ф(1)ф(2) ± ф(2)ф(1).
? <8> ? = ?? +
?
?
(7.157)
Рассмотрим далее внешнее произведение (^) и (1):
???? ???
?? <8> ?
?
? (X)
Так как на волновую функцию одной добавленной частицы не наложено никаких условий симметрии, мы можем построить функции, антисимметричные по всем частицам любого столбца (?-) плюс добавленная частица, либо же мы можем поместить эту частицу в первую строку (^). Таким образом,
(X) ® (1) — 2 (^i ¦ • ¦ -)- 1
Хп).
(7.158)
302
Г лава 7. Симметрическая группа
Во внешнем произведении (А)®(2)
???? ???
?? <8) ??
?
? (Л)
волновая функция для двух частиц в схеме
?п
симметрична по этим двум частицам, но никаких условий симметрии относительно перестановок этих двух частиц с частицами, входящими в (А), на нее не наложено. Поэтому мы можем дополнить схему (А) двумя клетками всеми возможными способами при условии, что эги клетки не попадают в один и тот же столбец.
Аналогично мы видим, что внешнее произведение (X) и горизонтальной полоски (m) получается присоединением клеток (т.) к (X) всеми возможными способами с тем ограничением, что никакие две клетки не должны попасть в один и тот же столбец. Если мы поменяем ролями строки и столбцы и перейдем к сопряженным представлениям (стр. 247), мы тотчас же получим правило вычисления произведения (A) 0 (l'n) : т клеток добавляются к (А) всеми возможными способами, но так, чтобы никакие две клетки не попали в один и тот же столбец.
Этим способом мы вычислим следующие внешние произведения:
=ШП + §П (7'159)
?? ® ?? = ???? + §ПП + Ёп (7Л6°)
??®Я = fpn + 0D (/леї)
и и ?
? ??
? (й ? (7.162)
? ®П - ? + ?+??
?
Теперь мы можем последовательно вычислять более сложные внешние произведения. Последовательные внешние произведения можно вычислять в любом порядке
(X) 0 (|i) 0 (v) = КХ) 0 (|i)l 0 (v) =
= [(H) <g (V)] g> (X) = [(А) 0 (V)! ®(ц); (7.163)
§ 13. Внутренние произведения
303
имеет место дистрибутивный закон
(X) ® [(ц) + (V)] = (А,) ® (ц) + (Я,) 2) (v). (7.164)
Таким образом, из (7.159) получаем
(Я) ® (2,1) = (X) ® [(2) g> (1)] - (X) ® (3) =
= l(X)%m®(l)-(X) 2)(3). (7.165)
Во все выражения в правой части (7.165) добавлены горизонтальные
полоски. Этим приемом мы пользовались ранее, и поэтому внешнее
произведение
(Ь) 3(2,1)
мы можем вычислить.
Задачи. 1. Вычислите внешние произведения
а) ?? я ?? б) ?? я ??
?? ® ® ?
2. Обобщите рекуррентный метод на случай (Л)0(2,2) и (Я)0(3,1). Попытайтесь вывести общее правило для вычисления внешних произведений.
§ 13. Внутренние произведения. Ряд Клебша—Гордана для симметрической группы
В гл. 6 мы рассмотрели разложение произведений неприводимых представлений данной группы О. В случае симметрической группы такие кронекеровские произведения называются внутренними произведениями, чтобы их можно было отличать от рассмотренных нами в предыдущем параграфе внешних произведений. В гл. 6 мы показали, как можно производить разложение с помощью таблицы характеров группы; при этом мы получаем некоторую разновидность разложения Фурье. Хотя этот метод прямой, он не приводит к общим формулам. Мы знаем, что дія группы вращений ряд Клебша—Гордана (векторная модель) дает весьма общий результат:
w
DlXDl'= 2 DL• (7.166)
i-l 1-І' I
Представляет интерес вопрос о том, существуют ли аналогичные общие формулы для симметрической группы. Следует ожидать, что эти формулы будут гораздо сложнее, чем (7.166); симметрическая группа представляет собой гораздо более сложную структуру, чем группа вращений, несмотря на то (или именно вследствие того), что последняя является непрерывной группой. Следует
304
Глава 7 Симметрическая группа
также отметить, что, имея в виду пример 4 в § 1 гл. 1, группу Sn можно рассматривать как подгруппу группы линейных преобразований в я-мерном пространстве.
Таблица 29
Ряд Клебша — Гордана л =4
(4) (3,1) (22) (2,12) (14)
(3,1) X (3,1) 1 1 1 1 (3,1) X (22)
(3,1) X (22) 1 1 (3,1) X (22)
(22) X (22) 1 1 1 (22) X (22) *
(1‘) (2,12) (22) (3,1) (4)
л = 5
(5) (4,1) (3,2) (3,12) (22,1) (2,13) (15)
' (4,1) X (4,1) 1 1 1 1 (4,1) X (2,13)
(4,1) X (3,2) 1 1 1 1 (4,1) X (22,1)
(4,1) X (3,12) 1 1 1 1 1 (4,1) X (3,12)
(3,2) X (3,2) 1 1 1 1 1 1 (3,2) X (22,1)
(3,2) X (3,12) 1 1 2 1 1 (3,2) X (3,12)
(3,12)Х (3,12) 1 1 2 1 2 1 1 (3,12)Х(3,12)-,
О5) (2,13) (22,1) (3,1*) (3,2) (4Д) (5)
