Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
@0
264
Глава 7. Симметрическая группа
Следует также заметить, что наш символ Яманучи состоит из трех единиц, двух двоек и одной тройки, что полностью согласуется с A,j=3, Х2 = 2, Я,3=1. Кроме того, если мы прочтем числа в символе справа налево, то заметим, что они образуют решеточную перестановку цифр 1, 2 и 3. Итак, существует взаимно однозначное соответствие между символами Яманучи, решеточными перестановками и стандартными таблицами. Например,
12 3 12 6
4 5 —> [322111]; 3 5 ->[123211].
6 4
Для каждого разбиения (X) мы получаем набор символов Яманучи, число которых равно размерности представления Dw. Если (А,) = = (A,j, ..., Xm), Xm > 0, то допустимыми являются К-символы
\Гп> /¦„-!. • • •. Г2, 1],
где rt — целые числа от 1 до m (целое число k встречается Xk раз). Если мы будем читать эти символы справа налево, то получим решеточную перестановку
Iа-», 2\ mV
Теперь мы можем выразить результат действия перестановки (п — 1, п) с помощью функций ф. Получим
(Я — 1, Я)ф[Г, Г, Гп_2...... 1] = .]-ф[г, Г, Г п ..1],
(я-1, я)ф[г. г-1. гп_2, ..., 1]= ( • }
= —ф[Г, Г — 1, гп_ ...........1],
если символ \г—1, г, г„_2, •••, 1] недопустим, и
(п— 1, я)ф[г, 5, гп_2, .... 1] =
= а„ф[/-, 5, ...........1] + /1 — (а„)2ф[5, г, ............... 1],
если оба символа допустимы и s ф г.
Наиболее удобный способ упорядочить К-символы состоит в том, чтобы расположить их в порядке, обратном лексикографическому. Так, для схемы (7.110) допустимые К-символы имеют вид:
322111, 321211, 321121, 312211,
312121, 232111, 231211, 231121,
213211, 213121, 211321, 132211,
132121, 123211, 123121, 121321.
§ 7. Матрицы неприводимых представлений группы Sп
265
Преимущество этого способа упорядочения состоит в том, что он помогает нам наглядно представить построение матриц при переходе от Sn к Sn+l. Первые пять символов служат базисными функциями неприводимого представления (А,) = (3, 2) группы S5, соответствующего схеме
получающейся после того, как мы отбросили символ 6 из строки 3. В этом представлении матрицы перестановок группы S5 служат подматрицами нашего представления группы S6. Далее, если мы пройдем цифры 3 и 2 в первых трех символах и цифры 2 и 3 в символах с номерами 6—8, мы придем к одинаковым последовательностям, соответствующим схеме
???
?
группы S4. Построим матрицу для перестановки (56) в этом представлении (А,) = (321). Пользуясь соотношениями (7.102), (7.104), (7.105) или (7.111), получаем матрицу
3227//
32/2//
321121
312211
3/2/2/
232111
231211
231121
213211
213121
211321
.132211
132121
123211
123121
111321
(7.112)
Перестановки группы 56 (т. е. перестановки, оставляющие на месте цифру 6) будут иметь матричные элементы только внутри
1 №
г г
1 VJ
"Г
і VJ
2 г
і і vTs
4 і 4 ,
_1 \/Ts
4 1 4
V3 Гі
2 2
V3 1
~Т 1
1 2
: 1 ч'З
1 2 2
у/3
1 “ 2 г
у/3
L “2 г
V/5 і
4 4
V7T /
4 4
VT I
2
VT 1
т
>/з 1
2 2
266
Глава 7. Симметрическая группа
пунктирных квадратов на главной диагонали. Их матрицы уже известны из рассмотрения группы S5. Матрицы перестановок (/6) с / < 5 можно получить трансформированием матрицы (?5), принадлежащей группе S5, матрицей (7.112) перестановки (56).
Выбрав за исходную группу Sj, мы можем постепенно построить вещественные ортогональные матричные представления группы перестановок. Мы приводим таблицы этих представлений до группы S5 включительно (табл. 28). Вследствие симметрии мы указываем лишь те элементы, которые расположены на главной диагонали и над ней. Кроме того, мы выписываем матрицы только для транспозиций; остальные представления можно получить перемножением этих матриц.
Задача. Пользуясь таблицами (табл. 28), постройте матрицы для перестановок (23), (45) и (56) в представлениях (Я) = (4, 2) и (З2) группы S6.
Уже сам факт, что все неприводимые представления симметрической группы можно привести к вещественному виду, позволяет нам доказать удивительную теорему. Так как все неприводимые представления группы Sn вещественны, все величины св (5.88) равны —j—1, так что
S(?) = 2v (7.113)
и
где t,(E)—число решений R уравнения
R2 = E. (7.113а)
Иначе говоря, для группы Sn сумма размерностей всех неприводимых представлений равна числу квадратных корней из единичного
элемента. Чтобы удовлетворить уравнению (7.113а), элемент R должен содержать лишь циклы длины 1 и 2, т. е. структура разбиения на циклы элемента R- должна иметь вид (la2|3), где —
Число элементов в классе (la2p) равно
п\
^(іа2Р) — 1аа!2рр! ’ в силу чего общее число решений уравнения (7.113а) равно
2 ё\а2$-
а, 0
а+2[3=л
Подставляя это выражение в (7.113), получаем соотношение
ІЛ/2І
S —r~=S"6—п! т~ * (7Л14)
^ ^ ^ a!2pR! ^ 2рр! (п — 20)!
ц а, р 1 0=0 м v
a+2j3=л
где [д/2]—наибольщее целое число, не превышающее числа п/2.
Таблица 28
Ортогональные матрицы неприводимых представлений групп перестановок
S,:
53:
Si-
? 1 [1] для всех элементов
?? 11 [1] для всех элементов
е Ш)
? ? 21 [1] [-1]
??? 111 ш для всех элементов
? е (ij)
