Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Ранее мы обращали внимание на сопряженные, или ассоциированные, разбиения. Два разбиения (X) и (X) сопряжены друг с другом, если схема одного из них получается из схемы другого заменой строк на столбцы. Представления, соответствующие сопряженным разбиениям, также называются сопряженными представлениями. Докажем теперь, что характеры класса в сопряженных представлениях равны, если класс четный, и имеют противоположные знаки, если класс нечетный, т. е.
х$)=х(§4)Л)- <7-44)
Существует много способов доказательства соотношения (7.44). Метод, который избираем мы, представляет ценность с той точки зрения, что приучает нас мыслить в терминах графов и схем. Предположим, что мы строим некоторый граф с помощью правильных размещений и приходим к графу:
------1 Г I г-
а і Ь і с 1
_ _ X _ X —I
Возможные правильные размещения трех точек во второй строке указаны на схеме, клетки заполняются в следующем порядке: а, Ь, с. На сопряженной схеме то же расположение в порядке с, Ь, а будет вновь правильным.
Предположим, далее, что мы достигли следующего этапа в построении графа:
??????? ????
??
??
?Р
(7.45)
248
Глава 7. Симметрическая группа
и правильно разместили 8 точек, как показано на схеме:
(7.45а)
??
На сопряженной схеме размещение тех же точек, но в обратном порядке, вновь будет правильным:
Обратим внимание на форму добавки к нашей головоломке с зигзагом. Добавка всегда имеет форму
Никогда не бывает добавок таких форм:
Иначе говоря, каждая точка находится либо в той же строке, либо в том же столбце, что и предшествующая ей. Общее число различных строк и столбцов, занимаемых г точками при правильном размещении, равно г-)— 1, ибо первая точка начинает заполнение и строки и столбца, а последующие точки (как мы уже указывали) располагаются либо в той же строке, либо в том же столбце, что
(7.456)
J
§ 5. Рекуррентные формулы для характеров 249
и предшествующие им. Но из (7.45а) и (7.456) мы видим, что в случае сопряженных разбиений размещения означают, что строки заменяются столбцами, и наоборот. Таким образом, если г нечетно (/¦ —(— 1 четно), то общее число строк и столбцов в схеме четно, и, следовательно, размещения на сопряженных графах либо оба положительны, либо оба отрицательны. Если же г четно {r-\- 1 нечетно), то размещение на графе, отвечающем разбиению (К), отрицательно, если размещение на графе, отвечающем разбиению (^), положительно, и наоборот. Таким образом, каждому способу построения графа (X) для класса (/) соответствует некоторый способ построения графа (^). В случае четных классов число циклов с четным г четно, и поэтому оба метода приводят к одному и тому же числу, равному 1 или
— 1. Если класс нечетный, то число циклов с четным г нечетно, поэтому мы получаем -|-1 в одном случае и —1 в другом случае.
§ 5. Рекуррентные формулы для характеров. Правила ветвления
Если требуется построить подробные таблицы характеров симметрических групп, то можно также пользоваться и рекуррентными формулами, так что характеры группы S„ можно определять по уже известным характерам для симметрических групп меньшего порядка. Рекуррентные формулы выводят из равенства (7.24):
sii)Dixi)= S 2 bpPxym-\ym-2 ... х]-т, (7.24)
(Л.) и
где (/) — разбиение числа п.
Предположим теперь, что мы рассматриваем класс группы Sn+r, который получается при добавлении к разбиению (/) одного цикла длины г: (ft) = ((/), г). В этом случае
swD{xt) = 2 S брР^ + т-1хр+т~2 ... ху. (7.24а)
Но
s(k)=s(l) sr, (7.46)
поэтому
= (*;+•••+<,)S 2e„РхУ"-'- -.х1*. (7.47)
(Л.) и
Вычислим теперь коэффициенты при одинаковых одночленах в левой и правой частях равенства (7.47) и получим
^) = 2/±x{o> где '¦)* (7-48)
250
Глава 7. Симметрическая группа
а 2^ означает суммирование по всем разбиениям (^), которые мы сейчас охарактеризуем. Из (7.47) ясно, что мы берем набор показателей
“I- ^ 1м '— 2, ..., rKm (7.49)
и по очереди увеличиваем один из них на г. Мы хотим, чтобы возникающая при этом последовательность получалась из последовательности
— 1, 2......цт (7.50)
с помощью некоторой перестановки. Если это так, то х^ будет входить в равенство (7.48), а знак его будет определяться тем, получаются ли последовательности (7.49) и (7.50) друг из друга четной (-j-) или нечетной (—) перестановкой. Поскольку на практике мы исходим из разбиения (ц) и последовательности (7.50), то из каждого члена последовательности (7.50) мы по очереди вычитаем г и то, что при этом получается, сравниваем с (7.49). Чтобы стандартизировать нашу процедуру, мы всегда будем выбирать т равным числу частей в разбиении (|х), хотя возможны и другие выборы т.
Рассмотрим, например, характер Х$)32’ ,2)- Мы хотим выразить его через характеры х^ группы 5]0, где класс (Г) получается из (ft) выбрасыванием одного цикла длины 2 (г=2). Выбираем т = 5 и выписываем последовательность (7.50):
8, 6, 5, 2, 1.
Вычтем теперь по очереди из каждого числа по 2 и запишем получающиеся при этом последовательности. Для экономии труда заметим, что при нашем выборе т. следует отбросить любую последовательность, содержащую отрицательные числа. Кроме того, если два числа в последовательности, получившейся после вычитания 2, равны, из нее уже не может получиться последовательность (7.49) и ее также следует отбросить. Наши последовательности имеют вид
