Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
sd) = • • • ¦ (7-19)
где (I) — класс вида (la, 213, 3V, . . .). Тогда (7.17). можно переписать в виде
= 2 х^..,хп. (7.20)
4 (К) По всем перестановкам
230
Глава 7. Симметрическая группа
Переменные sr, задаваемые формулами (7.18), представляют собой ti функций от п независимых переменных х-г Переменные sr функционально независимы; их якобианом служит определитель
1 1 1 ... 1 1 і
2xi 2х2 2х3 ... *2 х3 ...
J= Зх? ЗХ 2 3*2 ... = п ! х\ v;2 2 v Л3
пх"-1 пх”-1 пх%-' ... уЛ — 1 xi уЛ — I 2 уЛ — 1 Л3
= я! П (Х[ — ху). (7.21) К]
Последний результат получается, если заметить, что этот определитель представляет собой полином общей степени
0+1 + 2-)- ... +(я—1 ) = п—^—.
Этот определитель обращается в нуль, если совпадают любые две
переменные, и, следовательно, содержит все возможные множители
(xt—х}), у которых іф у; поскольку таких множителей имеется
ti(ti—1)/2, мы получаем равенство (7.21) (знак в этом равенстве
находят путем вычисления коэффициента при лг"-1 х?~2 .. . х°пу
Так как якобиан J не равен тождественно нулю, величины sr можно
ввести в качестве новых независимых переменных. Кроме того,
величины sUy задаваемые равенством (7.19), линейно независимы
(ибо если бы они были линейно зависимыми, то из этого вытекала бы
функциональная зависимость между величинами sr, которые, как мы
только что доказали, являются независимыми переменными). Те же
рассуждения показывают, что величины
2 К
V ... Хпп,
По всем перестановкам
соответствующие различным разбиениям (X), также линейно независимы. Таким образом, если (I) пробегает с классов в группе Sn, мы получаем с равенств, аналогичных равенству (7.20) и выражающих с линейно независимых величин через с линейно независимых величин
2 к
v ... V
По всем перестановкам
Матрица преобразования, позволяющего перейти от одной линейно независимой системы величин к другой, невырождена. Поэтому столбцы этой матрицы, которые являются не чем иным, как характерами при фиксированном (X), должны быть линейно независимыми.
§ 2. Формула Фробениуса
231
В силу этого с простых характеров должны выражаться в виде линейных комбинаций характеров cpfyK
Для вывода общих утверждений мы использовали п переменных xL. Единственное требование, которое следует соблюдать при практических расчетах, состоит в том, что число переменных х должно быть не меньше числа частей в разбиении (К).
Применим равенство (7.20) к группе S4. Тогда
(/) = (I4): *(„)¦= (*04 = (2 х)4 = 2 Х\ + 4 2 *?*2 +
+ 6 2 XjXy + 12 2 xjX2x3 + 24 2 Xjx2x3x4,
где под 2*1 и т- д- подразумевается суммирование по всем перестановкам индексов, в результате которых получаются различные одночлены. Аналогично,
(/) = ( 212):
S(2I2) = S2(5l)2 — (*1 + + ЛГл)(Л:і +
= [2 *? + 2 2 *,*2] [2 xi] =
= 2 xj + 2 2 x3jX2 +22 x^xj +
+ 22
(/) = ( 22): (0 = (3. 1): (0 = (4):
V) = (5г)2 = (2 x*Y = 2^1 + 22 х]х
s(3,1)= Vi = (2 *?) (2 х2) = 2 Х\ + 2 х\х2;
^(4) = 54 = 24
Пользуясь этими равенствами, образуем матрицу из величин <р<^) и транспонируем ее так, чтобы разбиения (к) означали строки, а разбиения (/)— столбцы:
(7.22)
по этой матрице простые характеры х^.
Задача. Примените этот метод к группе S5 и получите характер воспользуйтесь табл. 27 для того, чтобы выразить ф*^ в виде линейных комбинаций простых характеров группы S5.
(0 = (14)' (212)6 (22)3 (31)8 (4)в
М = 4 1 1 1 1 1 "
(31) 4 2 0 1 0
(2)2 6 2 2 0 0 .
(21)2 12 2 0 0 0
(I)4 24 0 0 0 0 _
Теперь мы могли бы так же, как в § 7 настоящей главы
232
Глава 7. Симметрическая группа
Формула (7.20) позволяет нам найти полный набор составных характеров <рМ для группы Sn. Фробениус пошел дальше и получил аналогичную формулу, которая дает непосредственно все простые характеры Для этой цели мы воспользуемся определителем такого типа, который уже встречался в равенстве (7.21), а именно:
D(xi) = D(xl.......xm)= П (x, — xj) =
і < j
= 2^Рх'Г'х?-2 ¦¦¦ xm_lXl (7.23)
где P есть любая перестановка переменных х{ и 6Я= +1 в зависимости от того, является ли перестановка Р четной или нечетной. Заметим, что D(xt) есть знакопеременная функция от x-t, меняющая знак при перемене местами любых двух переменных. Величины в равенстве (7.20) являются относительно xt симметричными многочленами [см. (7.18) и (7.19)], поэтому произведение s{l)D(xi) меняет знак при любой перестановке двух переменных. Если выписать разложение S{l)D(Xl) В виде суммы одночленов Xj1.........xv^, то ока-
жется, что нет членов, имеющих одинаковые степени по любым двум переменным, поскольку перестановка таких переменных в выражении s{[)D(Xi) привела бы к перемене знака всех членов разложения, в то время как перестановка одночленов не приводит к изменению знака. Таким образом, эти одночлены должны иметь нулевые коэффициенты. В силу сказанного переменные в одночленах можно перегруппировать так, чтобы сначала шли члены наиболее высокой степени, затем члены меньшей степени и т. д. Поэтому величину s^D (хс) можно записать в виде
®и)0(*і) = 2х$ 2 V3^+m-14’+m"2..' (7.24)
(I) '' р
Первая сумма берется по всем разбиениям (к) числа п, вторая — по всем перестановкам переменных хг........хт. Ясно, что коэффи-
