Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
и является подгруппой группы Sn\ пользуясь равенством (7.7), мы можем получить составной характер группы Sn, который обозначим cpw. Аналогичные операции можно проделать с каждым разбиением (Я.) числа п. Поскольку число разбиений числа п равно числу классов в группе Sп, мы получаем при этом составные характеры группы Sn, число которых равно числу классов в группе Sn. Мы докажем, что фШ — линейно независимые векторы. В силу этого они должны давать все простые характеры группы Sn, если брать их соответствующие линейные комбинации. Мы также приведем окончательный результат, полученный Фробениусом, —замкнутую формулу, дающую все простые характеры группы Sn.
Чтобы воспользоваться формулой (7.7), нам необходимо вычислить величины hh h и gt. Предположим, что мы хотим построить характер, соответствующий разбиению (X). Из (7.9) следует
A = V • %2\ ... Хп\. (7.10)
Рассмотрим далее класс Kt группы Sn. Класс Ki можно описывать, задавая структуру его разложения на циклы (Iа, 2Ч, 3V, .. .). Этот символ означает, что перестановки, принадлежащие классу Kh содержат а циклов длины 1, [J циклов длины 2, у циклов длины 3 и т. д., где
а —)— 2|3 —)— 3"у —(— ... = п. (7.11)
Число перестановок в классе было найдено в гл. 1 [формула (1.27)]:
п\ , ON
gl ~ Iа • а! 2^ • (313V • y 1 ...
Величина ht есть число элементов в группе Gw, которые обладают структурой разложения на циклы (Iа, 2Р, 3V . . .). Чтобы какой-либо элемент группы G{i) обладал этой структурой, он должен содержать
а циклов длины 1, (} циклов длины 2, у циклов длины 3 и т. д.
§ 2. Формула Фробениуса
227
Такой элемент можно построить согласно формуле (7.9), если множитель в прямом произведении, взятый из группы Git, содержит
dj ЦИКЛОВ ДЛИНЫ 1, (З; циклов длины 2,
"Yi циклов длины Зит. д.;
множитель, ВЗЯТЫЙ из группы Ох2, имеет
а2 циклов длины 1, р2 циклов длины 2,
у2 циклов длины 3 и т. д.
и, наконец, множитель из группы G*, имеет
ап циклов длины 1, ря циклов длины 2,
Уп циклов длины 3 и т. д.
при условии, если
п п п
= = = Ч И т. д. (7.13)
;=і /=і /-і
Так как группа G^ состоит из перестановок %L символов, имеем
а/ + 2р(- Зуі -f- ... = ^. (7.14)
Число перестановок в группе Q\„ имеющих структуру разбиения на циклы вида
(la/( 2pi, 3V', . . .)
при фиксированных at, Р;, у{.........равно
V-
\°1 • а/1 2^ • Р/! ...
Выбрав любое решение уравнений (7.13) и (7.14), получим
II
U\
“ 1“'-0,12^1 ...
элементов класса (la, 2Р, 3V, ...). Суммируя по всем решениям, на-ходлм
Я.,1
ht =
2 П-лт;?г7г - (7Л5)
р;,... і 1 ‘-«{12'-Р/1 ...
і
228
Глава 7. Симметрическая группа
Подставляя в формулу (7.7) соотношения (7.10), (7.12) и (7.15), имеем
ф у.) = У ------—Р*--------.... (7.16)
т‘ g,h ЛЛ ai I а21 ... Pi I Рг! • • • 4
а,. Є,...
ЕаГа- ЕР/“Р- •••
о^-}-2(3^+ •••
Прежде чем переходить дальше, мы хотим проиллюстрировать наш метод на одном частном случае. Рассмотрим группу S4 и построим подгруппу, соответствующую разбиению (22). В этом случае
0(2») = о2 X 02.
Образуем симметрическую группу, действующую на элементы 1 и 2, и умножим ее на симметрическую группу, действующую на элементы 3 и 4: е, (12), (34), (12) (34). Порядок этой подгруппы группы S4 равен Л = 2! • 2 ! = 4. Рассмотрим различные классы в группе S4. Классы (4) и (31) не содержат членов, которые входили бы в группу 0(2*), вследствие чего формула (7.7) для этих классов дает нуль. Класс (22) группы S4 входит в группу Gp*) один раз, класс (212) входит в эту группу дважды, класс (I4) — один раз, в силу чего мы получаем составной характер
(14), (212), (22), (31), (4),
6, 2, 2, 0, 0.
Величины служат коэффициентами в некотором полиноме, к построению которого мы сейчас приступим. Предположим, что мы рассматриваем класс (la2p3v . . .) в группе Sn. Многочлен
(•^1 + ^2+ ••• + хпТ (х\ х\ + +л:л)|3Х
X (л;3 + л;32 + .. . +x3)v . ..
относительно переменных хг............хп можно разложить так, чтобы
он имел вид
/ I] а,!...ал1Х'' • ¦ • 1 р,1 Р.. Р„1 • • • Х^-
Iа!....% II Pi..
/V ЕРГР
а| у __Ё>______v
а,!...ал! А Р,1...Р„! Х ¦¦¦
j а;«а
s
v Р/.
?с^=а, Ер;-р, ...
... x^<2|,il3v'+"'X ... X^i2p“+3v”+"‘.
§ 2. Формула Фробениуса
229
Соберем теперь все коэффициенты, стоящие при данном одночлене
v-fll Л
Л1 Л2 • • • лп ¦
Тогда рассматриваемое выражение можно переписать в виде
о 1
aj ... ал!
У Х^ У _l!_V_PL_x
Z4 Лі ’ ’ ’ хп U а,! ... а„! Л В,! ... В„! Л-
ні Р/. •••
Ец-=л Еа- = а, Е|3;-|3, ...
а‘-(2|3.+ ..*.
Все одночлены, которые получаются из одночлена
ХЇ . . . Х*«
при перестановке переменных, имеют одинаковые коэффициенты. Поэтому мы можем расположить показатели [i; в порядке убывания их величины и отождествить их с членами разбиения (Я.). Затем, пользуясь соотношением (7.16), получаем
М ап Р/
По всем 1
перестановкам
2 а^а, И Р; = Р, ... °; + 2Р^+. • •
s
(М По исем
перестановкам
Сумма берется по всем разбиениям (^) и всем различным одночленам, получающимся при перестановке переменных хг, .... хп. Введем теперь новые переменные sr:
r = '2ixri (r= 1............п). (7,18)
Для каждого класса I со структурой разложения на циклы (la, 213, 3V, ...) мы зададим еще третий набор переменных, а именно левую часть равенства (7.17):
