Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема. Сумма квадратов числа квадратных корней из всех элементов группы равна порядку группы, умноженному на число амбивалентных классов.
Заметим также, что если все классы группы О амбивалентны, то все характеры должны быть вещественными. Так будет в случае симметрической группы Sn, поскольку любая перестановка и ей обратная имеют одинаковую структуру разложения на циклы. Таким образом, все характеры симметрической группы вещественны.
Задача. Найдите число амбивалентных классов в каждой из кристаллографических точечных групп и сравните его с числом вещественных характеров по таблице характеров. Перечислите точечные группы^ у которых все классы амбивалентны,
176
Г лава 5. Различные операции с представлениями групп
§ 6. Разложение кронекеровского произведения.
Ряд Клебша — Гордана
В § 1 настоящей главы мы определили кронекеровское произведение двух представлений. В теории связанных систем и при выводе правил отбора эти произведения играют основную роль. В этом параграфе мы получим математическое обоснование для таких приложений.
В общем случае произведение двух неприводимых представлений группы О приводимо. Чтобы разложить произведение представлений на неприводимые, мы воспользуемся соотношением (5.15)
x(»xV{R)==xWiRhxM{R)' (5 15)
и соотношением (5.42)
«0=7 Sx01*^)?^. (5.42)
о
которое показывает, с какой кратностью (aa) данное неприводимое представление D(a) содержится в представлении D(^xv). Из этих двух равенств мы получаем
ао = 7 2 Х(ц) (Я) x(v) (Я) X(a) (R) • (5.105)
о
Этому соотношению можно придать различные полезные формы.
Прежде всего возьмем кронекеровское произведение представлений Dи D(v) и спросим, какова кратность, с которой единичное представление содержится в Dw X D<v). Поскольку все характеры единичного представления D(1) равны единице, это число равно
ei = 7Sx°‘)(^)xM(/?) = V (5.106)
о
где последнее равенство следует из соотношения ортогональности. Таким образом, произведение представлений и D(v) содержит
(с кратностью, равной единице) единичное представление в том и только том случае, если |i = v. Этот результат можно сформулировать и в терминах базисных функций. Базисная функция (единственная) единичного представления инвариантна относительно всех преобразований группы О. Равенство (5.106) означает, что мы можем составить инвариантную линейную комбинацию произведений волновых функций тогда и только тогда, когда представления Dи D(v) сопряжены (^ = v). Если представления унитарны, то D = D*. В этом случае мы можем сказать, что их произведение содержит единичное
§ б. Разложение кронекеровского произведения
177
представление в том и только в том случае, если представления, являющиеся сомножителями, комплексно сопряжены друг с другом. Далее, если в (5.105) Da заменить представлением D”, мы получим
«5 = 7-2 х<ц) (/?) (/?) х<<7) (/?)’ <5-107)
О
что дает кратность, с которой Dla) входит в DX
Числа аа в (5.105) служат коэффициентами в разложении произведения X D^v) на неприводимые представления:
Dw X D(v) = ^ аа D(a). (5.108)
а
Разложение (5.108) называется рядом Клебша— Гордана.
Если представления унитарны, то х — Х*> и (5.105) принимает вид
«О = у 2 W Xм (Я) Х*(а) (Я). (5.105а)
О
Обозначение
Dw X D(v) = 2 (м-va) D(a) (5.108а)
a
является более наглядным, чем обозначения, использованные в равенствах (5.105) или (5.108); здесь (|iva) означает кратность, с которой представление D(a) входит в кронекеровское произведение представлений Dw и D(v). Ясно, что (|iva) — (v|ia).
Задачи. 1. Докажите, что кратности, с которыми D(a) содержится в X D^v\ содержится в D^ X D^a\
D^ содержится в D^ X D^l\
равны между собой. Покажите, что если все характеры группы G вещественны, то символ (fiver) в (5.108а) полностью симметричен.
2. Найдите условия, при которых кронекеровское произведение X DМ неприводимо.
3. Докажите, что кронекеровское произведение двух неприводимых
представлений размерности л, и п2 (л, п2) не может содержать пред-
ставлений размерности меньшей, чем Пі/л2-
4. Найдите коэффициенты ряда Клебша — Гордана для произведения двумерного представления группы кватернионов на себя.
5. Покажите, что если характеры представлений и D^ вещественны, а характер представления — комплексный, то D® X должно содержат^ D(a> и Dс одинаковой кратностью.
178
Глава 5. Разлитые операции с представлениями групп
§ 7. Коэффициенты Клебша — Гордана
В предыдущем параграфе мы рассмотрели задачу о нахождении таких неприводимых представлений, которые содержатся в кроне-керовском произведении двух неприводимых представлений. В следующей главе мы покажем, каким образом ряд Клебша — Гордана позволяет нам найти правила отбора.
Для физических приложений еще большее значение имеет задача о нахождении базисных функций тех представлений, которые содержатся в кронекеровском произведении. Нам заданы базисных функций (/= 1, неприводимого представления Dw((?)
и «v базисных функций (/=1, ..., пv) неприводимого представления D<V>(G). Требуется найти пк функций
которые ЯВЛЯЮТСЯ линейными комбинациями произведений И
