Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим, наконец, группу Та (и изоморфную ей группу О). Эта группа содержит 24 элемента в 5 классах, поэтому существует 5 неприводимых представлений и
2«? = 24. i-i
Единственным решением служит набор чисел nl = n2 = 1, п3-= 2, п4 = п5 — 3. Группа Td получается из группы Т путем присоединения отражений в плоскостях, проходящих через противоположные ребра куба, как показано на фиг. 64. Каждая из этих плоскостей содержит две оси 3-го порядка. Базисная функция представления А группы Т может быть либо симметричной, либо антисимметричной относительно аа, и поэтому для Та мы получаем два одномерных представления А, и А2. Пара комплексно сопряженных представлений Е группы Т обладает базисными функциями, преобразующимися друг в друга при отражении в плоскости, проходящей через ось 3-го порядка, и, Следовательно, мы получаем двумерное представление Е группы Та.
152 Глава 4. Неприводимые представления точечных групп симметрии
Рассмотрим, наконец, трехмерное представление F группы Т. Если мы возьмем базисные функции х, у, z и применим к ним отражение в плоскости X = у, то
0„ (г) = г, Оа (х) = у, Оа(у) = х, что даст нам матрицу о:
'0 1 0 '
1 0 0
- 0 0 1 _
откуда х(0)—1- [Все отражения принадлежат очному и тому же классу, так что у_ (ad) = 1 для всех cd.\ Если же теперь в качестве базисных функций представления F группы Т мы возьмем компоненты аксиального вектора, то при чистых вращениях группы Т они будут вести себя как компоненты полярного вектора (для чистых вращений их трансформационные свойства совпадают). Но отражение в плоскости х — у меняет знак ^-компоненты аксиального вектора, в то время как две другие компоненты преобразуются друг в друга, так что
X fad) = — 1 •
Мы получаем, таким образом, два различных трехмерных представления Fx и F2 группы Та. Характеры элементов S4 можно определить из ортогональности векторов-строк в табл. 10.
Таблица 10
Ті. Е С, (8) С,< 3) оа( 8) S4 (6)
А 1 1 1 1 1
Л2 1 1 1 —1 —1
Е 2 —1 2 0 0
/V, *, у, 2 3 0 —1 1 —1
F, 3 0 —1 —1 1
Задачи. 1. Постройте матрицы для представлений Е, Fj и F2 группы Td.
2. Пользуясь соотношениями (3.154) и (3.156), найдите характеры представлений группы Т.
В сущности мы получили простые характеры для всех кристаллографических точечных групп. Для справок все эти данные в компакт» ном виде приведены в табл. 12—22,
§ 2. Неабелевы группы
153
С помощью наших методов можно с легкостью рассматривать и такие группы (как, например, группы Q5v и §>&), которые иногда встречаются в молекулярных проблемах, но не входят в число кристаллографических групп.
Мы не приводим таблицы для тех кристаллографических групп, которые можно представить в виде прямых произведений, т. е для групп
Gzh'==G3 X Gs, Gih=Gi X Gi, Gs/1 = G§ X Gі,
Агл ^ ^2X6/, Ay, = Ai X Gt, S>6 = G3 X
^ A3 X Gі, D6A = D6X<?,-, Th = T ХЄ,
Ол^О XGi,
Причина, по которой мы не останавливаемся на рассмотрении этих групп, состоит в том, что, как это уже указывалось в предыдущей главе, характеры неприводимых представлений этих прямых произведений можно получить из представлений групп, являющихся со-
множителями. Таким образом, все группы, которые получаются при образовании прямого произведения с группой Qt, имеют вдвое большее число классов. Каждое из представлений исходной группы приводит
Таблица 11
Е С3 Сз ал алСз алСз
А' \ 1 1 1 1 1
А" 1 1 1 —1 —1 —1
1 є є2 1 є Є2
Е
\ 1 б2 є 1 є2 є
( 1 є є2 —1 —f —є2
Е"
1 1 б2 є —1 —є2 —є
к двум представлениям прямого произведения, одно из которых симметрично относительно инверсии/, а другое антисимметрично. Те же замечания остаются в силе и для прямых произведений с группой Gs. Для примера мы приводим таблицу характеров для группы G3h (табл. 11).
Задача. Постройте таблицу характеров для группы S0,
§ 3. Таблицы характеров для кристаллографических точечных групп
Таблица 12 Таблица 13
Єі: Е I
62: Е с2
6S: Е а
Ag А'\ г А’\ х, у 1 1
Аи: х, у, г В; х, у А"; г 1 —1
Таблица 14
62h '¦ Е с2 Oh 1
Е с2 °v V
ея Q 111 Е Cz Су С*
Ае At; г А, 1 1 1 1
Bg В2, У В3; д: 1 —1 —1 1
Ац\ z а2 В,; г 1 1 —1 —1
Ви; х, у В,; х Въ У 1 —1 1 —1
Таблица 15
Є,: Е с, cl С3
S4: Е S* s3
А; г А 1 1 1 1
В В; z 1 —1 1 —1
Е\ х±іу Е; х ±ly | 1 1 і —1 —1 І
Таблица 16
<V- E C3 C2
A\ z 1 1 1
. ( 1 є e2
E\ x±iy \ I 1 Є2 e
і = е-2яі/3
Таблица 17
63v: E C,( 2) М3)
D3: E C,( 2) Cx (3)
Ax\ z At 1 1 1
a2 A2; z 1 1 —1
E\ x, у ?; x, у 2 —1 0
Таблица 18
б6: Е С6 Г2 Г3 С4 Г5
А; г 1 1 1 1 1 1
В 1 —1 1 —1 1 —1
?* і 1 а2 — (О 1 (О2 — ш
1 1 —ш а2 1 — (О (О3
_>N +l ч 1 (О а2 —1 — (О — (О2
1 — Ш2 — со —1 со = *2л//6 ш2 (О
Таблица 19
? С2 °4 С4(2) М 2) V (2)
D4: ? С2 °4 С4(2) С2(2) Су (2)
E>2d ’¦ ? с2 S4 (2) С2 (2) °d (2)
Ай Z А А, 1 1 1 1 1
а2 л2;« •^2 1 1 1 —1 —1
в, В\ В\ 1 1 —1 1 —1
в2 В2 В2; г 1 1 —1 —1 1
?; лг, у ?; лг, у ?; лг, у 2 —2 О О О
Таблица 20
Д6: Е С3 С|(2) С6( 2) С2( 3) С2, (3)
С 6 v'- Е С3 °6 С|(2) С6(2) (3) V (3)
язл ¦ Е S§(2) S6(2) с2(3) ®„(3)
4 Л,; г 4 1 1 1 1 1 1
Л; * Л 4 1 1 1 1 —1 —1
