Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Х(Я) = х(Я-’>
а соотношение ортогональности (3.146) дает нам
2 Х(Я)Х(Я) = ?.
о
(5.82)
(5.83)
в то время как в случае 3 представление D неэквивалентно представлению D, вследствие чего
2х(Я)х(Я) = о.
о
Объединяя эти результаты с соотношением (5.82), получаем
-)- 1 для случая 1,
^ (Я2) = c(w • g, где с
(5.83а)
„(W.
1 для случая 2,
(5.84)
0 для случая 3.
Вигнер называет представления типа 1, которые можно преобразовать к вещественному виду, целыми представлениями. Для таких представлений 1; для полуцелых представлений типа 2. которые
172
Г лава 5. Различные операции с представлениями групп
нельзя преобразовать к вещественному виду, но которые эквивалентны представлениям, комплексно сопряженным с ними, c(w= — 1 Наконец, для представлений типа 3, которые неэквивалентны представлениям, комплексно сопряженным по отношению к ним, сад = 0.
Равенство (5.84) дает нам простой критерий для трех типов представлений. В частности, представление можно привести к вещественному виду только в том случае, если сумма характеров квадратов элементов группы равна +?.
Пусть ?(S) — число решений уравнения
R2 = S. (5.85)
Объединяя в (5.84) те члены, для которых R2 = S, получаем
(5.86)
О
Воспользовавшись соотношением полноты (3.177) и заметив, что
с(0==С(5).
мы решим (5.86), откуда
^S) = 'Lcw%W(S). (5-87)
Равенство (5.87) устанавливает замечательную теорему.
Теорема. Число решений R уравнения R2 = S (т. е. число квадратных корней из элементов S) дается формулой (5.87), в которой c(tl) = 0, если характер комплексный. Если же
характер %W(S) — вещественный, то cw = -|-l либо c(w = —1 в зависимости от того, эквивалентно представление вещественному представлению или нет.
В частности, выбрав в качестве элемента 5 единицу Е, мы найдем, что число решений уравнения R2 — E равно
С(?) = 2с'% (5.88)
т. е. число таких решений получится, если взять сумму размерностей всех неприводимых представлений типа 1 и вычесть из нее сумму размерностей всех представлений типа 2.
Матрица
S D (R2)
О
§ 5. Вещественные представления
173
коммутирует со всеми матрицами неприводимого представления D(R), так как
D~l (А) 2 D (Я2) D (А) — 2 D~l (A) D (Я2) D (А) =
G О
= 2 [0~1 (Л) D (Я) D (Л)] [D-1 {A) D (Я) D (А)\ =
G
= 20(Я)0(Я) = 2^(«2)' (5.89)
о о
[Поскольку D(R) пробегает всю группу G, то и D~l (A) D (R) D (А)
также пробегает всю группу G.] По лемме Шура
2 D (Я2)
о
должна быть кратна единичной матрице:
2 D (Я2) = кЕ. (5.90)
О
Взяв след правой и левой частей равенства и воспользовавшись (5.84), получим
cwg = кп^,
где — размерность представления, так что (5.90) принимает вид
^0(Ц)(Я2) = -^ Е. (5.91)
о ц
Умножим равенство (5.91) на 0<Ц)(Л):
V Dw (AR2) = Dw (А) (5.92)
о 4
и вычислим след
^хад(ля2)=^хад(^). (5.93)
о ц
Положим Л = 52 и просуммируем по 5:
V ^ (S*R*) = S ^<Ц) (52)-
R S Ц S
Еще раз воспользовавшись соотношением (5.84), получим
22х<Ц)(52/?2) = ^?^'- (5’94)
/? 5 Ц
174 Г лава 5. Различные операции с представлениями групп
Если т] (7") — число решений уравнения
S2R2=T, (5.95)
то
VrK7')XW(T) = -^^. (5.96)
* ЛМ-
т
Воспользовавшись еще раз соотношением полноты, мы решим это уравнение и получим
Т1(Г) = Е-^Г^*<Ц)7’- (5.97)
и ц
В частности, при Т = Е
Л(^) = ^2[сЫ]2- (5.98)
и
т. е. число решений уравнения S2R2 = E (или S2 = R2) равно числу неприводимых представлений с вещественными характерами, умноженному на g.
Этот процесс можно повторить. Перемножив уравнения типа (5.91), выписанные для s элементов Rlt R2, Rs, мы получим
J] D^^RlRl . .. R§= Е. (5.99)
....«, Ц
Вычислив след обеих частей (5.99), найдем
(5.100)
Тем же самым методом, как и раньше, мы получим теперь, что число решений уравнения
R2iR!...Rs = E (5.101)
равно
, у 1««Г ‘ ? 1"»Г! ’
Задачи, 1, Построить таблицу характеров для группы кватернионов (см. задачу на стр. 44). Покажите, что ее двумерное представление имеет тип 2. Проверьте различные теоремы этого параграфа для группы кватернионов.
2. Укажите, к какому типу (1, 2 или 3) относятся представления кристаллографических точечных групп.
Если равенство (5.87), определяющее ?(S), возвести в квадрат, положить
§ 5. Вещественные представления
175
и просуммировать по 5, то мы получим
2[?(S)]2= 2 cauc(v 2xw(5)x(v)(5_1)=
(5.102)
Ц, V ц
Этот результат совпадает с (5.98). Равенство (5.102) означает, что сумма квадратов числа квадратных корней из всех элементов группы О равна числу простых вещественных характеров, умноженному на g. Последний результат можно представить и в более удобном виде. Мы знаем, что элементы R обратные элементам R, принадлежащим классу Kt, образуют класе Kf. При l — j соотношение полноты (3.177) имело вид
(5.103)
и
Просуммировав по І, получим
= (5.104)
Ц \ t 1 I
В соответствии с равенствами (6.83) и (5.83а) величина, стоящая в скобках в левой части этого равенства, равна g, если характер xw вещественный, и равна нулю, если характер — комплексный. Таким образом, левая часть этого равенства равна числу вещественных характеров, умноженному на g. Сумма, стоящая в правой части этого равенства, равна числу классов і, совпадающих с классами Ґ. Такие классы называются амбивалентными классами. Равенство (5.104), таким образом, означает, что число вещественных характеров равно числу амбивалентных классов. Комбинируя это утверждение с (5.102), получаем следующую теорему.
