Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
фМ = V ф^О
принадлежит Z-й строке ц-го неприводимого представления. Но мы можем утверждать, что недиагональные элементы
(ф*/1), Уф^))
матрицы возмущения равны нулю, а все диагональные элементы равны между собой, из-за чего и не происходит расщепления уровней. Докажем наше утверждение в более общем случае, поскольку это понадобится нам в дальнейшем. Мы утверждаем, что скалярное произведение двух функций, не принадлежащих одной и той же строке одного и того же неприводимого представления, равно нулю. Обозначим эти функции ф(^) и ф(У). Унитарные операторы группы симметрии не изменяют скалярного произведения, поэтому
(ф0*>, ф(у)) = (ОдФ^), <Ур70 =
R
М R
= у 2 №> 2 (R) Di‘j(R) =
kl R
194
Глава 6, Физические приложения
Положив |i = v, / = j, найдем, что скалярное произведение
(ф*/1), ф*/1)) (6.2) не зависит от /, В частном случае
фМ = V фИ
мы получим тот же результат, Следует обратить особое внимание на то, что этот уровень не может расщепиться ни в каком приближении, Ибо если бы он расщепился, то это означало бы, что исходное представление, вопреки нашему предположению, было приводимым.
Если произойдет случайное вырождение, мы будем предполагать, что г-я система партнеров (образующих базис /--го неприводимого представления) обладает энергией Ет и что энергии Ег случайно совпадают друг с другом. Если на систему наложено какое-то симметричное возмущение V, то оно в лучшем случае может уничтожить это случайное вырождение. Если представление D такого уровня является суммой неприводимых представлений, каждое из которых входит в эту сумму ровно один раз, то в этом случае теория возмущений несложна, ибо, согласно (6.1), отличными от нуля будут только диагональные элементы представления, а согласно (6.2), они будут одинаковыми для всех партнеров:
(фм, кф</*>) = v;.
Если же одно и то же неприводимое представление входит в представление D несколько раз, то появляются недиагональные элементы вида
(фМ КфМ) = К'.
Чтобы получить собственные функции нулевого порядка В ЭТОМ случае, мы должны решить секулярное уравнение для всех функций, принадлежащих одной и той же строке одного и того же неприводимого представления. Сделать это нетрудно. Например, если какое-нибудь неприводимое представление встречается дважды, нам придется найги только определитель матрицы 2X2, так как для всех / строк представления мы получим одно и то же секулярное уравнение.
Если возмущение V обладает более низкой симметрией, чем гамильтониан Н0, то полный гамильтониан Н будет обладать группой симметрии G', являющейся некоторой подгруппой группы G, Предположим, что нам дано некоторое представление D(G) группы G, Мы тотчас же получаем некоторое представление ее подгруппы G', выбирая среди матриц D(G) те, которые соответствуют элементам G'. Даже в том случае, когда представление D(G) группы G неприводимо, представление подгруппы О', получаемое нами по этому методу [назовем его D'(G')], может оказаться приводимым. Иначе говоря,
§ 2, Теория возмущений
195
несмотря на то, что мы не можем найти подсистему базисных векторов представления D(G), которая бы оставалась инвариантной относительно всех преобразований группы G, может случиться так, что мы сумеем найти какое-нибудь подпространство, инвариантное относительно всех преобразований подгруппы G', Если сказанное перевести на язык физики, то это означает, что, несмотря на то что собственные функции, принадлежащие энергии є, образуют базис неприводимого представления группы О, это представление для подгруппы G' может оказаться приводимым, В этом случае возмущение V расщепит уровень. Проиллюстрируем этот метод на нескольких примерах.
Предположим, что группой симметрии невозмущенного гамильтониана служит группа G4. Как показано в гл, 4, все неприводимые представления этой группы одномерны, но пара комплексно сопряженных представлений Е отвечает одному и тому же уровню. Если мы наложим возмущение, обладающее симметрией группы (?2> т0 вырожденный ^-уровень расщепится на два уровня, принадлежащих представлению В группы (?2,
Предположим далее, что группой симметрии G является группа G3v. Уровни классифицируют по представлениям Аь А2, Е группы G3v. Уровни последнего типа двукратно вырождены. Если группа симметрии G' полного гамильтониана есть группа Gs, то вырождение исчезает. Чтобы найти те представления группы Gs, которые содержатся в представлении Е группы С3г1, выпишем часть таблицы характеров группы G3v, соответствующую операциям подгруппы Gs’.
Е | av
Е\ х, у [ 2 | О
и воспользуемся соотношением (3.150), чтобы найти, какие неприводимые представления группы Gs содержатся в Е. Для представле-
ния А' группы Gs найдем:
аА’ = у [2 О) + 0 (1)] = 1, для представления А"\
ал„ = 1[2(1) + 0(-1)] = 1,
поэтому Я-уровень группы G3v расщепится на уровни типа А' и А" группы Gs.
В качестве еще одного примера предположим, что группой симметрии G является группа Т тетраэдра. Рассмотрим уровень,
196
Глава 6. Физические приложения
принадлежащий представлению F. Этот уровень будет трехкратно вырожденным. Характеры равны
