Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
энергии еМ будут соответствовать п базисных функций ф,.......
Предположим, что мы имеем систему, состоящую из г тождественных частиц и что в нулевом приближении каждая из частиц обладает энергией є(Л. В нулевом приближении любое произведение волновых функций
Ф; (1)ф, (2) ... ф, (г) (/v= 1....п)
М 2 V
будет соответствовать одной и той же энергии Г ¦ е(Л. Возмущение снимет это вырождение. Поскольку полный гамильтониан задачи симметричен относительно перестановок тождественных частиц, собственными функциями в нулевом порядке теории возмущений буду.ї'-те линейные комбинации произведений волновых функций, которые обладают симметрией определенного типа. Задача построения таких функг/ ций была решена в гл. 7. і
486 Глава П. Применение теории групп к атомной и ядерной физике
Другая точка зрения состоит в следующем. Рассмотрим одночастичную волновую функцию ф как вектор в я-мерном пространстве, натянутом на базисные, векторы фь . . ., ф„:
П П
2К12—і- (її-l)
i=l Z-1
Если базисные векторы ф,- подвергнуть унитарному преобразованию,, так что
Ф/ = в//Фу. (1L2>
мы получим другой базис того же самого векторного пространства. Кроме того, унитарные преобразования можно сделать унимо-дулярными, если вынести фазовый множитель е16. Этот фазовый множитель оказывается общим для всех функций ф'^ поэтому он не меняет ни одного матричного элемента. В результате мы можем считать, что пространство, натянутое на функции ф!........ф„, дает нам
базис (точного) представления унитарной унимодулярной группы SU (п). Если мы имеем систему, состоящую из г тождественных частиц, то
произведения ф, (1) ... ф (г) образуют базис представления 1 т
группы SU (п) посредством тензоров /--го ранга. В этом случае наша задача заключается в том, чтобы построить неприводимые представления группы SU (п) посредством тензоров г-го ранга с определенной симметрией. Эту задачу мы решили в гл. 10.
Из приведенных выше соображений следует, что пространство тензоров г-го ранга играет две роли:
1) оно служит пространством представления группы SU (я);
2) оно служит пространством представления группы G. Если пространство тензоров г-го ранга разложить на подпространства тензоров r-го ранга, обладающих определенной симметрией, то мы найдем неприводимые представления группы SU (я). В то же время каждое из этих подпространств дает нам некоторое представление группы G. Одна из главных задач, стоящих перед нами, состоит в том, чтобы разложить неприводимые представления группы SU (я) по неприводимым представлениям группы G.
§ 2. Разложение момента количества движения. Разложение представлений группы SU(») на представления группы 0+ (3)
Простейшим примером приведенных выше рассуждений является Случай, когда гамильтониан отдельной частицы инвариантен относительно группы 0+ (3)— трехмерной группы вращений. В этом случае энергии отдельных частиц, соответствующие различным неприводимым представлениям D(J) группы 0+ (3), хорошо разделяются.
§ 2. Разложение момента количества движения
487
Волновая функция отдельной частицы представляет собой вектор в (2/4- 1)-мерном пространстве неприводимого представления D(1\ натянутом на базисные векторы
Фг (* = — /. — УН-1..........J—L /)•
Оператор J* 4~ Jy 4~ Jz принимает на всех векторах этого пространства фиксированное значение /(/-{-1), и мы можем, например, выбрать фг так, чтобы /.ф; = г'ф/. Из произведений векторов ф мы хотим построить н приводимые тензоры [относительно группы S?/(2/-j-l)] и определить, какие представления DiJ) группы О4 (3) содержатся в них.
Наиболее простой метод заключается в следующем. Тензор первого ранга соответствует схеме Юнга [1]. Он дает нам неприводимое представление [1] группы SU (2/4-1) и неприводимое представление D(J) группы 0+(3). При г = 2 мы получаем неприводимые представления [2] и [11] группы SU (2/4~ 1). Разложение этих представлений на представления группы 0+ (3) легко проводится с помощью результатов, полученных в § 8 гл. 9 относительно коэффициентов Клебша — Гордана. Если в соотношении (9.116) положить j\ = /2 = /, то
AJ = (ulv2 — u2vlfJ~J(ulxl -+ u2x2)J v2x2)J. (11.3)
Если поменять местами переменные u2*^v2, то Aj в резуль-
тате умножится на (—Таким образом, если число 2/ — J четно, то тензор второго ранга, образованный из произведений ф; симметричен, если же число 2/ — J нечетно, то тензор антисимметричен. Следовательно, при целом / представление
??
содержит
7=2/, 2/-2............О, (11.4)
в то время как представление
?
?
содержит
2/ — 1, 2/—3........1. (11.4а)
При полуцелом / представление
??
имеет
J — 2/, 2j 2, . .., 1, (11.5)
488 Глава II. Применение теории групп к атомной и ядерной физике
а представление
?
?
имеет
У = 2j — 1, 2/ — 3.0. (11.5а)
Заметим, в частности, что функция, имеющая У = 0, является
симметрическим тензором при целом j и антисимметрическим тензором при нечетном у. Разложение этой функции по фг получится, если в (11.3) положить У = 0:
?у-0 = Кг;2-М2г;і)2/ =
m = —j
= (2У)! V (_!)/-»ф;у_т>
m--J
в силу чего нормированная функция при У=0 имеет вид
