Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Для спиновых волновых функций мы воспользуемся результатами, полученными в § 2 настоящей главы для j =1/2. Схема Юнга содержи: самое большее две строки (A.j -f-Я,2 = г), и результирующий момент количества движения равен
5 = 1^-^). (11.7)
Иначе говоря, схема Юнга для г электронов с полным спином S имеет вид
М = . ?z^-] • (И-8)
Размерность (мультиплетность) представления равна 25-J-1.
Поскольку пространственные волновые функции должны отвечать сопряженной схеме Юнга (с переставленными строками и столбцами), то схемы для орбитальных функций могут иметь в каждой строке самое большее по две клетки. Для орбитальных волновых функций в задачах атомной физики можно ограничиться разбиениями с ^ 2.
Начнем с конфигурации (р)г. В этом случае / = 1. Общее число различных орбитальных состояний, допустимых для отдельной частицы,
Таблица 59 Уровни электронной конфигурации (р)г
Орбитальный момент количества движения Снин Мультиплет
г = 1 [1]?=1 |l]S = y 2/>
г = 2 [2] L = 2,0 [1*]? = 1 [12] S = 0 [2] S = 1 >S, 'D зр
г = 3 [21] А = 2,1 [21] 5-і *я, ю
[I3] L = 0 И*-4 4S
§ 3. Принцип Паули
497
равно 21 + 1 =3. Внутренней волновой функции (cs = 1/2) соответствуют два основных состояния. Таким образом, возможно всего шесть различных состояний, и /7-оболочка заполнится при г = 6. Все эти результаты содержатся в таблицах предыдущего параграфа. Мы воспользовались соотношением (11.7) для полных спиновых функций и табл. 53 для полных орбитальных волновых функций. Результаты приведены в табл. 59.
Нам нет необходимости брать значения г > 3 (т. е. рассматривать больше чем половину состояний, относящихся к данной оболочке), ибо остальную часть таблицы можно получить, если воспользоваться соотношениями эквивалентности (10.29) и (10.30). Например, при г— 4
[22] = [2] и L=2, 0;
схеме [22] отвечает 5=0. Таким образом, мы получаем те же результаты, что и при г = 2
[2] • [I]2.
Для конфигурации (d)r с 1—2 мы воспользуемся табл. 55 для /= 2. Эта оболочка содержит 10 состояний. Полученные уровни приведены в табл. 60.
Таблица 60
Уровни электронной конфигурации (d)r
Орбитальный момент количества движения Спин Ліультиплет
г= 1 [1] /. = 2 [і ]s=| 2D
г = 2 г = 3 [2] L = 4, 2, 0 [12К = 3, 1 [21] Z. = 5, 4, 3, (2)2, 1 [I2] s = o [2] S = 1 lS, 'D, 1G 3P, 3F 2P, (2D)2 2F W, 2Я
[I3] L = 3, 1 MS=| 4P, 4F
г = 4 [I4] /. = 2 [212] L = 5, 4, (З)2, 2, (I)2 [22] L = 6, (4)2, 3, (2)2, (О)2 [4] S = 2 [31] S = 1 [22] S = 0 W
г = 5 [I5] L = 0 [213] L = 4, 3, 2, 1 [221] L = 6, 5, (4)2, (З)2, (2)3, 1, 0 hs-4 [32] S-і es
498 Глава И. Применение теории групп к атомной и ядерной физике
Задачи. 1. Пользуясь табл. 57, составьте таблицу уровней для конфигурации (/у (I = 3).
2. Рассуждения, к которым мы здесь прибегали, можно применить и к классификации вращательных состояний двухатомных молекул, у которых оба атома одинаковы. Воспользуйтесь этими соображениями для классификации состояний орто- и параводорода, а также орто- и парадейтерия. Напишите функцию распределения для этих молекул в их основном электронном и колебательном состоянии.
Следующий шаг в теории возмущений состоял бы во включении в гамильтониан членов, зависящих от спина. В этом случае произведение представлений DJ и Ds распадется на представления DJ. Члены, зависящие от спина, приводят к расщеплению мульгиплетов.
§ 4. Старшинство ]) в атомных спектрах
Для конфигурации (р)г схема симметрии [А,] и момент количества движения L полностью характеризуют состояние: при заданной симметрии мультиплет встречается только один раз. Иначе обстоит дело с конфигурацией (d)r. Для трех частиц существуют два ^-состояния, обладающих одинаковой симметрией [21]. Многие мультиплеты встречаются по нескольку раз при одной и той же схеме [А], когда г = 4, 5. Для классификации этих состояний было бы удобно иметь какое-нибудь дополнительное квантовое число. Мы хотели бы найти некоторую группу G, которая содержалась бы в группе ??/(2/4-1) и включала бы группу вращений 0+(3) в качестве своей подгруппы. Тогда состояние характеризовалось бы своей схемой симметрии [А] для группы (2/1), неприводимым представлением группы G, которому оно принадлежит, и своим моментом количества движения L. Такую группу О можно найти, но получающаяся при этом классификация состояний оказывается полезной только при условии, если гамильтониан возмущения коммутирует (или приближенно коммутирует) с преобразованиями группы О. Если это условие выполнено, то параметр, задающий неприводимое представление группы G, дает нам дополнительное квантовое число, имеющее физический смысл. Для спектров многоэлектронных атомов такой подгруппой группы О служит группа 0+ (2/4-1).
Пре иположим, что у нас имеется система двух электронов в конфигурации (/)2. Орбитальные волновые функции двух элек-
тронов являются векторами в (214- 1)-мерном пространстве представления D^ группы вращений. Произведения функций V/VJ* образуют
¦) Этот термин используется при переводе английского слова rsenio-rjty“.—Прим. перев.
§ 4. Старшинство в атомных спектрах
499
