Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
0+ (21 -f- 1) —>• 0+ (3) мы пользуемся таблицами § 2 настоящей главы.
Для конфигурации (р)г 1=1, и группа 0+ (2/4-1) есть просто трехмерная группа вращений. Полное разложение в этом случае представлено в табл. 59.
Для конфигурации (d)r мы комбинируем результаты, приведенные в табл. 48 и 60.
При г = 1:
[1], L=2—>(10), таким образом, представление (10) сд-держит L — 4.
§ 5. Атомные спектры в схеме jj-связи
505
При г = 2:
[2], Z,= 4, 2, 0 —>(20) + (00), так что представление (20) содержит /.= 4,2.
[11], Z, = З, 1—>(11), так что представление (11) содержит Z, = 3,1.
При г = 3:
[21], L = 5, 4, 3, 22, 1 ->(21) + (10). Так как представление (10) содержит Z,= 2, представление (21) содержит L — 5, 4, 3, 2, 1
[13] = [12]^(Ц).
Этим способом мы получаем разложение представлений
Результаты для конфигурации (d)r, приведенные в табл. 61, показывают, что уровни конфигурации (d)r однозначно определяются схемой [Я,], старшинством v и моментом количества движения L.
Табл. 62 для конфигурации (f)r получена тем же методом.
В случае конфигурации (f)r сложения квантовых чисел, названных нами старшинством, недостаточно для однозначного определения уровней. Можно найти некоторую подгруппу группы 0+(7), которая содержит трехмерную группу вращений, и, таким образом, получить дальнейшее уточнение классификации, но мы этого делать не будем.
Задачи. 1. Проведите вычисления, необходимые для заполнения табл. 62.
2. Для электронов в конфигурации (1)г символ (fij.....(г;) может
содержать только величины Ц; = 0, I, 2. Пусть а—число двоек в символе, a Р — число единиц. Докажите, что
В тяжелых атомах, когда вклад в энергию взаимодействий, зависящих от спина, становится существенным, мы можем получить лучшее описание, если вместо схемы связи Рассела—Саундерса воспользуемся схемой уу-связи.
В схеме Уу-связи мы вначале комбинируем одноэлектронную орбитальную волновую функцию с внутренней (спиновой) волновой
0+ (5) —>• 0+ (3).
(11.13)
где v — старшинство, а 5 — спин.
§ б. Атомные спектры в схеме //-СВЯЗИ
506 Глава И. Применение теории групп к атомной и ядерной физике
функцией электрона. Эти функции образуют базис представлений и группы вращений. Разложим произведение D{1) X на
неприводимые представления группы вращений (J = / ± 1/2).
Вследствие сильного спин-орбитального взаимодействия одночастичные функции с различным моментом количества движения j отвечают хорошо разделенным уровням энергии. Одночастичные волновые функции, соответствующие некоторой заданной энергии, образуют базис фу, фу_і> .... ф_у+1. Ф_у представления Dl;) группы вращений.
Если в конфигурации (J/ находится г эквивалентных электронов, то полную волновую функцию мы должны составлять из произведений
......J).
Но поскольку теперь мы рассматриваем полные волновые функции для тождественных частиц, принцип Паули требует, чтобы мы взяли только полностью антисимметрический тензор [1г].
Разложение момента количества движения для антисимме-трического тензора [П проводится непосредственно, но вычисления чрезвычайно громоздки. Так как этот тензор антисимметричен, единственными ненулевыми компонентами будут те, для которых все /], ..., 1Г различны. Поскольку индекс і у функции указывает строку представления D^\ которой принадлежит фг (т. е. значение в состоянии сумма (различных) индексов /j —j— ... -\-ir указывает строку представления, которой принадлежит произведение фф . .. фМ (т. е. значение У^ + • • • -j-^ в этом состоянии). Чтобы
найти значения У для конфигурации (//, мы просто выписываем все возможные наборы индексов ir, удовлетворяющих условию
Г
h > h > • • • > lr< и берем сумму 2 Если наибольшая сумма
V г- I
есть У,, то разложение произведения [D^] должно содержать представление DJl группы вращений, причем для 2У, —j— 1 базисных функций этого представления
S = > -А — 1...............— Л •
Вычеркнув эти значения из таблицы сумм, мы переходим к наибольшему из оставшихся значений Продолжая этот процесс, мы
находим разложение момента количества движения. Проиллюстрируем этот метод на нескольких примерах.
При _/ = 3/2 возможны четыре состояния (четыре значения индексов). Мы должны дойти лишь до г = 2. При г = 1, У =3/2.
При г = 2 возможные значения 1Х, 12 и /j —|— /2 мы сведем в табл. 63. Наибольшее значение суммы 2/v равно 2. Вычеркиваем из таблицы
Таблица 63
h /і + /2
3 1 о
2 2 с
3 1 1
2 2
3 3 0
2 2
1 2 1 2 0
1 3 — 1
2 2
I 3 о
2 2 — 2
Таблица 64
^2 і. S'v /2 і. 2'v
5 3 1 9 3 1 1 3
2 2 2 2 2 2 2 2
1 7 3 1
2 2 2 2
3 5 5 1
2 2 2 2
5 3 3 1 3 1
2 2 2 2 2 2
5 1 1 5 5 3
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 5 5
2 2 2 2 2 2
5 1 1 1 3 3
2 2 2 2 2 2
5 1 3 1 5 5
2 2 2 2 2 2
5 1 1 3 5 7
2 2 2 2 2 2
5 3 5 3 1 3 5 9
2 2 2 2 2 2 2 2
508 Г лава //. П рименение теории групп к атомной и ядерной физике
значения суммы, равные 2, 1,0, —1, —2. После этого остается единственная сумма, равная 0. Таким образом, конфигурация (3/2)2 содержит J= 2, 0.
Для конфигурации (5/2)г имеем
— і /_ 5 .
Г — 1, J 2 ,
