Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
При п = Ъ рассмотрим тензоры [22] с нулевым следом, у которых а-)-?> = 4 > 3. Условия обращения следа в нуль могут быть двух типов:
В случае условий первого типа, когда k и / заданы, I может принимать единственное значение, не равное k, /, откуда мы получаем такие уравнения, как
Так как тензор антисимметричен по аргументам одного столбца, эти уравнения можно переписать в виде
Fu = 0, F22 = 0 и т. д.
23
23
Для условий второго типа находим уравнения
^22 + /733 = 0> /7І1 + /:’33 = 0> F11 /*’22 == 0 ¦
II
II
22
22
33
§ 6. Неприводимые Представления ipynhu 0(п)
467
Их единственным решением являются
Fu — Fu — F22 — 0.
22 33 33
Таким образом, мы обнаруживаем, что тензоры с нулевым следом, отвечающие схеме Юнга [22], тождественно равны нулю, что согласуется с общей теоремой.
Задана. Примените этот метод при п = 3, чтобы показать, что тензоры с нулевым следом, отвечающие схеме Юнга [31], обращаются в нуль тождественно.
Проделайте то же для тензоров, отвечающих схеме Юнга [221], при п — 3 и п = 4. Чю произойдет при п= 5?
Из предыдущей общей георемы мы заключаем, что допустимыми являются лишь те схемы, для которых сумма длин первых двух столбцов меньше или равна п. Допустимые схемы можно разбить на пары сопряженных схем Т и Т' следующим образом: длина первого столбца в схеме Т меньше или равна п/2, а^.п/2, длина первого столбца в схеме Т' равна п — а, а все остальные столбцы в схемах Т и Т' имеют одинаковую длину. Так как для допустимой схемы
а-\-Ь ^п и а'^Ъ,
имеем
п — а^Ь и (п — а)
Отсюда следует, чго схема Т допустима, если допустима схема Т. Например, при п= 3 схемы
????? ????? ? ?
? ?
[5] [51]; [1] [11]
Т Г Т Г (10.42)
сопряжены. (Вообще разбиения [г] и \r, 1] сопряжены.)
При п—Ь сопряжены схемы
?????? ?????? ???? СЗХП
? ? ?
? ?
?
[6] [6111]; [41] [411]
TV TV (10.43)
468
Глава 10. Линейные группы в п-мерном пространстве
При п= 4 сопряжены схемы
[5]
Т
?
?
[511]
Г
(10.44)
Однако при четных зйачениях п имеем
П1~ . • I =
? ?
Т Г (10.45)
Если п четно (п= 2v) и a=l/2« = v, то схемы Т и Т' совпадают. Говорят, что Т—самосопряженная схема.
Таким образом, чтобы описать схему Т, можно воспользоваться СИМВОЛОМ ((Xj, (Х2 (Xv), где (X, (Х2 ^ ^ (xv> причем некоторые из чисел (х могут быть нулями. Схема Т содержит М'і + М'гЧ-
-)- ... -)-(xv=:r индексов. Схема Т' содержит больше индексов,
если только схема Т не является самосопряженной.
Все допустимые схемы для заданного значения п можно исчерпать, полагая г = 0, 1, 2 ... и отбирая все неотрицательные числа (х, удовлетворяющие уравнению
М'і + М'г-!- ••• (10.46)
Здесь п= 2v, если п четно, и n = 2v+l, если п нечетно. Для
каждого решения уравнения (10.46) мы получаем схему Т и строим сопряженную ей схему Т'. Если п нечетно, то каждая схема получается только один раз. Если п четно и схема Т содержит \ = п/2 строк, то схема Тг совпадает с Т.
Инвариантное подпространство, определяемое допустимыми схемами, непусто. С помощью метода, аналогичного методу, использовавшемуся в § 2 настоящей главы [уравнение (10.12)], можно построить тензоры с нулевым следом для любой допустимой схемы.
До сих пор мы рассматривали полную ортогональную группу О(п). Если мы ограничимся собственной ортогональной группой 0+ (п), для которой det а = —|— 1, то представления, соответствующие сопряженным схемам Т и Т', становятся эквивалентными. При нечетном п представление, соответствующее самосопряженной схеме Т, распадается на два неэквивалентных неприводимых представления.
В качестве простого примера заметим, что при п = Ъ схема Т = [1] описывает векторы, а схема 7= [11] описывает кососимметрические
§ 6. Неприводимые представления группы 0(п)
469
тензоры. При собственных ортогональных преобразованиях оба типа величин преобразуются одинаковым образом, так что схемы Т и Т' эквивалентны. При несобственных преобразованиях (инверсиях) тензоры, отвечающие схеме 7'=[1], меняют знак (полярные векторы), в то время как для схемы 7'/ = [11] тензоры знака не меняют (аксиальные векторы).
Для физических приложений представляет интерес только случай нечетного п, когда неприводимые представления группы 0+ (га) можно
полностью описать с помощью символа ((Xj, (х2...........’Щ,)-
При п=Ъ v=l, поэтому неприводимые представления группы О+ (3) описываются одним значком ((Xj). Базисными функциями служат симметрические тензоры (Ц'го ранга с нулевым следом. Если речь идет о представлениях группы GL(3), то размерность пространства тензоров, отвечающих схеме [Я,,], будет равна
і (^1 + 1) (^-і + 2)
V к ) 2
Условие обращения в нуль следа тензора дает ^ (А,)— 1)/2 соотношений. Из этого следует, что число независимых функций для ((Xj) равно
(l*i 1) (l*i 2) _ Ш (ш — 1) __ 2^ _|_ j
Базисными функциями являются сферические функции порядка (Xj. Поэтому величины, преобразующиеся так же, как сферические функции порядка (х,, будут неприводимыми тензорами [преобразующимися по группе Оь(3)].
Задача. Докажите, что сферические функции порядка I образуют базис представления (I) группы 0+ (3).
