Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Ф', — Да)-'г+
• • • +6УР°?- ••• 'г членов) • (10-34)
Чтобы показать это, рассмотрим подпространство 2 всех тензоров Ф. Условие „ортогональности0 тензора F этому подпространству,
(F, Ф)5ее F^ ... іФ^ ... ir = 0 для всех Ф, (10.35)
означает, что след тензора F по любым двум индексам должен быть равен нулю. [Выберем тензоры Ф так, чтобы только слагаемое G(I2j было отлично от нуля. В этом случае условие (10.35) приводит к соотношению
Поскольку компоненты тензоров 0(12) произвольны, мы должны иметь
§ 5. Ортогональная группа в п-измерениях
463
Аналогично, выбирая Ф так, чтобы только слагаемое G(a|3) было отлично от нуля, докажем, что след тензора F по любой паре индексов (ар) равен нулю.] Таким образом, совокупность тензоров F°, у которых след равен нулю, образует подпространство, ортогональное подпространству 2, а все пространство разлагается в прямую сумму этих двух подпространств
= (10.36)
Пространство 2, определенное в (10.34), есть инвариантное подпространство. В самом деле, каждое из слагаемых в отдельности при ортогональных преобразованиях переходит в слагаемое того же вида
“v.'Vi • • • “‘aPv.0?!8— і) =
= 6Л ... ,, =6,,, О?!'., v (10.37)
Таким образом, разложение (10.36) остается инвариантным при ортогональных преобразованиях.
Мы приведем пример разложения (10.36) при г = 2. Для тензора F[j второго ранга имеем
Рц = \ Fkk %+ \FU -4 Ч = Ф‘7 + Fb- (10-38)
Тензор
F^j ¦=¦ F і j--^ Fkkbij
имеет след, равный нулю. Ранг тензора
равен
г — 2 = 0.
При г = Ъ запишем тензор в виде
— FthU~\~ НtfihU + (10.39)
и потребуем, чтобы тензор F0 имел след по любой паре индексов, равный нулю.
След по паре индексов (12): Fm, = nHt,-\-Kt, +
След по паре индексов (13): Futi = Hi, + nKi2-\- Ltt.
След по паре индексов (23): Fщ = Нi(-J- Кіх-\- nLis.
464
Глава 10. Линейные группы в п-мерном пространстве
Решая эти уравнения, получаем
Н1 = „У+і^2 f<« + D F[ni - F-J- - ^
Kj = я2 + ^2 f- FiV-j + (П+ 1) Fl}f! -Ff.l (10.40)
h = „гд______2 [- ~^ + («+!) ¦
Задача. Найдите выражение для составляющей f0 тензора четвертого ранга через компоненты этого тензора.
§ 6. Неприводимые представления группы О (я)
Заметим теперь, что перестановка индексов переводит один тензор, след которого равен нулю, в другой тензор, обладающий тем же свойством. Поэтому, чтобы получить тензоры с симметрией заданного типа, у которых след равен нулю, за исходное следует брать подпространство тензоров г-го ранга с нулевым следом и применять к ним симметризаторы Юнга. Действуя таким образом, мы приходим к неприводимым представлениям группы 0(п).
Итак, неприводимое представление группы 0(п) оказывается связанным со схемой Юнга [А^ ... А„], где Я1 + Я2+ ... +Я„ = г. Однако не все схемы Юнга являются допустимыми. Для целого класса схем тензоры, след которых равен нулю и которые имеют определенный тип симметрии, тождественно равны нулю. Общая теорема гласит следующее.
Теорема. Тензоры с нулевым следом, соответствующие схемам Юнга, имеющим сумму длин первых двух столбцов больше п, должны быть тождественно равны нулю. Иначе говоря, тензоры
где а-(-&>«, должны иметь вид (10.34).
Мы не будем приводить доказательства в общем случае. Вместо Этого мы дадим доказательство в некоторых простых частных случаях.
§ 6. Неприводимые представления группы 0(п)
465
Начнем с я =2. Симметрический тензор
^шш
имеет а-\-Ь = 2. Так как это число не превышает п= 2, можно построить тензор, у которого след равен нулю и который обладает такой симметрией. Независимыми будут компоненты Fu и Fu. Остальные компоненты выражаются через них:
^22 — — ^11 и ^21 = F12*
Для схемы
га
ш
а-\-Ь = 2. Поэтому тензоры данного типа, у которых след равен нулю, существуют. В самом деле, так как этот тензор антисимметричен по / и j, его след должен быть равен нулю.
При г = 3 тензор с нулевым следом
имеет независимые компоненты Fm, FU2. Другие стандартные компоненты задаются соотношениями
^111 + ^122 = 0» ^112 +^222 = О-
Так как п= 2, все тензоры, отвечающие разбиению [111], равны нулю.
Тензор
^00
0
имеет только две ненулевые компоненты:
Fu И Fi2.
2 2
Но если мы потребуем, чтобы след тензора был равен нулю, то получим уравнения
О = Fu-\-F'22 = Fn> 0 = Fi2-\-Fu = F\2.
2 2 2 2 I ?
466
Глава 10. Линейные группы в п-мерном пространстве
Таким образом, тензоры
ґшш
0
с нулевым следом обращаются в нуль тождественно в соответствии с общей теоремой (а-|-?> = 3 > 2). Мы также видим, что те же рассуждения применимы к тензорам
с нулевым следом и с любым числом дополнительных индексов в первой строке схемы Юнга. При каждом фиксированном наборе значений дополнительных индексов приведенные выше рассуждения показывают, что тензор равен нулю, если следы по паре индексов (ij) и (jk) равны нулю.
Из общей схемы (10.41) мы видим, что число независимых тензоров, полученных с помощью свертки по паре индексов, очень мало. Так как тензор F антисимметричен по llt •••, ia, то след по lv и / будет одним и тем же (за исключением, быть может, различия в знаке) для всех элементов iv первого столбца. Таким образом, при свертке нам необходимо выбирать один произвольный индекс в каждом столбце (например, можно произвести свертку только по парам индексов в первой строке схемы).
