Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
([е ±р] F)w
446
Глава 10 Линейные группы в п-мерном пространстве
где е—тождественный оператор Применяя операторы е ± р, мы получаем разложение пространства тензоров Fhi2 на инвариантные подпространства Но, как мы видели в § 1, 2 гл. 7, эти операторы являются симметризаторами Юнга, порождающими неприводимые представления группы S2
Оператор р коммутирует с преобразованиями (10.3) в пространстве тензоров:
(¦pF\t=Fl=ai>j,a>,
= a a F =
l'J2 l\J\ J2J1
= anhabjS^H],' t10'8)
или в сокращенной записи
p(aXa)f=(aXa)pf. (10.8а)
Причина ЭТОГО СОСТОИТ В ТОМ, ЧТО произведение Я;іУ бисимме-
трично: если к ilt i2 и j\, j2 применяется одна и та же перестановка,
то произведение не изменяется.
Закон преобразования для тензоров /--го ранга задается соотношением
Р'^2 • і=ві,;,виЛ'виЛ;. .у,- (10-6>
іТ і,у, V2 ' • ’ ‘rJr j{j2 ¦ J
которое мы будем сокращенно записывать в виде Каждой перестановке
Fw=%nj)Fur (10-6а)
1 2 ... г
Р = \ Г 2' . . г’
принадлежащей симметрической группе Sr, мы ставим в соответствие оператор р, действующий на индексы тензора Ft
(рF)t . = F . . ==F , ., (10.9)
1 2 ••• г 12PW
или сокращенно
(Р F)(l) = Fp(iy (10.9а)
Тогда
(P^0(i) = (F% (1) =ар щ р (j)Fp —
= apWp(J) —
= a(i) (j) (P^)(y)> (10.10)
где при выполнении второго преобразования мы использовали (10.9),
а при выполнении последнего — тот факт, что преобразование тен-
зора бисимметрично:
а = а, . а, а =а, , а, , . а, ,=а11и.,. (10.11)
1V 2'^2' ^Т' 11 2^2 Г Г (ОіУ)
§ 2. Конструирование неприводимых тензоров
441
Соотношение (10.10) показывает, что операторы перестановок р коммутируют со всеми бисимметричными преобразованиями в пространстве тензоров. Поэтому те тензоры /•-го ранга, которые обладают какой-либо особой симметрией, будут при преобразованиях (10.6) переходить в тензоры с такой же симметрией. В силу этого все пространство тензоров /--го ранга разлагается на подпространства, состоящие из тензоров с симметрией определенного типа.
Чтобы получить тензоры /"-го ранга, обладающие симметрией определенного типа, мы применим к тензору общего вида Fi ... ,• симметризаторы Юнга (см. § 10 гл. 7). Каждой схеме Юнга
[^1 .. . %k\ ^здесь 2 К = rj
соответствует некоторый особый тип симметрии тензоров ранга г. Чтобы указывать тип симметрии тензора, мы будем записывать его индексы в клетках схемы Юнга. Например, при /•= 2 симметрический тензор запишем в виде
1
а антисимметрический тензор — в виде
Fr
12
При г = 3 существует три класса симметрии:
f lifer
0 0
0
что соответствует разбиениям [3], [21] и [111]. Тензор /"-го ранга с симметрией, описываемой разбиением [Я.5 ... Xk\, имеет вид
h <2 !'a,
‘Л, + 1 ] +A 2
448
Глава 10. Линейные группы в п-мерном пространстве
Тензоры этого типа симметрии порождаются за счет применения к тензору общего вида /"-го ранга оператора Юнга
Y = QP,
где Р — оператор горизонтальных перестановок в схеме, a Q — оператор вертикальных перестановок (см. § 10 гл. 7). Следовательно, тензор F будет ангисимметрическим по всем индексам, которые стоят в одном столбце. Любая компонента тензора, для которой некоторый индекс в одном столбце встречается дважды, должна быть равна нулю.
Чтобы проиллюстрировать этот метод получения тензоров заданной симметрии, мы начнем с тензора G^-^y, и построим тензор
ч
Оператор Юнга для этой схемы имеет вид Y = QP, где [в+ (12)] [в+ (34)]. Q = [e —(13)][в — (24)].
Поэтому
<P0W./ — G. . . . 4 * 112 ‘ + G i 1 1
+QP% . . . — G. . •2^3*4 M. . . — G. . 1Ъ1. .. — G. . . . + G. . . 2/1/4 hUhh 1
+ G. . . 1 hh' . — G.. . 3<4 . — G.... -\-G... . i<4 lihhh 1
+ Gili,i . —G. . . 4^1 1 з^2г . — G... . + G.. ;,+
+ G. .. 1 hh> . —G. . . 4^3 /2 ^ 3^ . —G*. . . +G. . . 4/, /4^ 1 ^2/3 *4*3*2 h'
Задачи. 1. Найти тензор
получающийся из тензора G11 общего вида.
2. Пользуясь результатами § 10 гл. 7, разложить тензор об-
щего вида в сумму тензоров с симметрией определенного типа.
В случае общей линейной группы GL («) на элементы матрицы а,ц не наложено никаких ограничительных условий, поэтому единственным процессом разложения пространства тензоров служит используемый нами процесс симметризации. Тензоры г-го ранга заданной симметрии образуют базис неприводимого представления группы GL(n),
§ 2. Конструирование неприводимых тензоров 449
иначе говоря, они являются неприводимыми тензорами, преобразующимися по группе GL(ri). Позднее мы увидим, что для некоторых подгрупп группы GL(ri) возможно и дальнейшее разложение.
Какие типы симметрий реализуются при заданных значениях п и г? Если схема Юнга содержит более чем п строк, то по крайней мере один индекс должен повторяться в первом столбце, так что все тензоры симметрии этого типа должны быть тождественно равны нулю. Поэтому можно ограничиться схемами, число строк в которых равно самое большее п, и записывать разбиения в виде
[Яі ¦ • ¦ Я„],
где
Я1 —|- .. . —|- Яп = г, Я) Я„ 0.
Если схема содержит больше чем п строк, то некоторые из чисел % равны нулю и при выписывании разбиения их можно опускать.
Кроме того, можно показать, что реализуется всякая схема, число строк которой меньше или равно п, т. е. что существуют ненулевые тензоры с симметрией всех таких типов. Рассмотрим схему Юнга Т с числом строк т<^.п. Будем исходить из тензора О, все компоненты которого, за исключением одной, в некотором базисе равны нулю:
