Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
к трем операторам
Г
J= 2 J„- (9.92)
/1=1
Как показано в § 13 гл. 8, собственные значения операторов Кази-2 2 2
мира J , Ji, ..., Jr характеризуют неприводимые представления. При
о 2
заданных собственных значениях операторов Л.......Sr собственные
значения оператора J2 вычисляют так, как это обычно делается
в учебниках по квантовой механике.
Пользуясь характерами
1
Х(У)(ф) = 2 elm(f. (9.77)
m--j
нетрудно найти ряд Клебша—Гордана для группы вращений. Характер прямого произведения D(;,) X D(l2) двух неприводимых представлений равен
/і h y(h X h) (ф,, ф2) = 2 Є!'т,ф| 2 ЄШ^.
§ 8 Связанные системы Сложение моментов количества двиокения 435
В связанных системах мы должны рассматривать только те элементы, для которых <pj:=<p2 = cp, так чго
1\ Jl ] І І2
X Л) (ф)= 2 elm'f 2 elm^ = 2 2
¦ mi = -j1 m2 = — J2
JH J2 J JH J2
= 2 S eiM<f= 2 xU)(<p)-
•/=І./і“Лі У У=ІУі — ЛІ
(9.93)
Ряд Клебша—Гордана поэтому имеет вид
ВШ х 0Ш = 2 ?>(•/).
(9.94)
В произведение двух неприводимых представлений каждое неприводимое представление входит самое большее один раз. Группа вращений просто приводима (см. § 8 гл 5)
В физических приложениях используют главным образом коэффициенты Клебша — Гордана для группы вращений Эти коэффициенты являются коэффициентами в разложении базисных функций 'F]м представления D(J) ПО произведениям базисных функций неприво-
димых представлений Dи D^ В § 7 и 9 гл. 5 мы рассмотрели общую задачу о симметрии коэффициентов Клебша—Гордана Общая формула эгих коэффициентов для группы вращений (коэффициенты векторного сложения) была выведена многими способами. Приводимый здесь метод является самым простым из всех методов.
Вместо того чтобы работать с группой вращений, рассмотрим ее универсальную накрывающую группу—унимодулярную унитарную группу CU2- Из § 6 настоящей главы видно, что рассмотрение группы Яіг дает нам всю необходимую информацию о группе вращений. Если две переменные «і, щ преобразуются по формулам
и\ — аах-\-Ьа 2 == -----Ь Uj —d И2
(aa* + bb*= 1),
(9.56)
или (в матричной форме)
’и,' а Ь '
и' = mu, и = m = г*
_ м2 _ . — ^ а _
(9.95)
436
Глава 9 Аксиальная и сферическая симметрия
го система функций
,1 hm j-m
/,
(in = — J, -У4-1...............7-І. У) (9.67)
V(j + tn)! (j — m)!
образует базис неприводимого представления D(1\ Рассмотрим теперь
две переменные хх и х2, которые преобразуются следующим образом;
х[ = а*хх -\- Ь*х2, х'2 = - Ьхх ах2\ (9.96)
х’ = т*х. (9.96а)
Так как
т^т — 1,
то
откуда
т* = т~\
х = т 1х.
(9.97)
Переменные хх, х2 преобразуются по сопряженному представлению (комплексно сопряженное представление; см. § 3 гл. 5). В некоторых учебниках говорят, что контравариантные переменные х преобразуются контрагредаентно переменным и, а другие переменные, преобразующиеся так же, как переменные и [см. (9.56)], называются когредиентио (или ковариантно) преобразующимися.
Из (9.56) и (9.97) мы видим, что
следовательно,
х'и' = хт 1ти = хи,
ха = ххах х2а2
(9.98)
инвариантно. Заметим также, что если переменные (и1, и2) заменить переменными (к2, —их), то (9.56) перейдет в преобразование (9.96). Перейдем от переменных (м,, и2) к конгравариантным переменным (и2, —их) с помощью преобразования
(9.99)
(9.100)
и2 " 0 1 ' "«Г = е ’«Г
— их — 1 0 . М2 . _ ч2 _
g =
0 1
— 1 0
Если у нас имееіся еще один набор ковариантных переменных (г;1( v2), то произведение
= vgu (9.101)
М2~ " 0 1 ' и\"
(Pv v2) . — «1 . ==(®1. ®2) —1 0 и2
$ 8. Связанные системы. Сложение моментов количества движения 437
будет инвариантно относительно преобразования т. Из (9.99) и (9.100) мы видим, что матрица g играет роль метрической матрицы.
Рассмотрим теперь функции, аналогичные функциям fm из (9.67) (для них j = j\ и J = J2):
„/И Щии-тх vh-1 mlvh-m%
ihA = lbh = —----- ------ . (9.102)
V U\ +™i)! Ui — m\)\ mi V(j2 + >n2)\(j2 — m2)l
Для любых значений J ОТ I у'т — j2\ ДО построим многочлены
Aj = (u}v2 — a2vl))' + h~J (MjXj + a2x2)1>~h+J {vxxx + v2x2)h~ h+J,
(9.103)
где Xj и x2 — пара конгравариантных переменных. Степень многочлена Aj равна 2j\ по переменным их и и2 (такая же, как и степень функции степень же по переменным vx и v2 равна 2у2
(такая же, как степень функций Ф422)- Степень этого многочлена по контравариантным переменным хг и х2 равна 2J. Согласно (9.98) и (9.101), величины, стоящие в (9.103) в скобках, инвариантны относительно преобразований, принадлежащих группе СЦ2> в СИЛУ чего полином Aj инвариантен. Если разложить Aj по степеням хх и х2, то получим
Aj= ^ WJMXJM, (9.104)
M--J
где
yj -ьЛІ J—м
х"—7їг+ — ¦ <!U05>
Коэффициенты WJm являются полиномами по ии и2, vu v2. Сравним А} с инвариантной величиной
Bj = (U\X\ М2Л*2) J =
J
=¦(2Л! V -------------!--------aJ+MxJ+MaJ-MxJ-M =
у U (У + М)! (J — M)l 2 2 —
м= -J
M = -J
Поскольку и коэффициенты WJm в (9.104) и в (9.106) преобразуются контр авар иантно по отношению к Хм, то и те и другие преобразуются одинаковым способом, в силу чего коэффициенты WJM
438
Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
