Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
электронами и колебаниями решетки. Хотя этот гамильтониан выглядит еще
довольно просто, выяснилось, что соответствующее ему уравнение Шредингера
не может быть решено точно. Поэтому, чтобы получить представление о том,
как проявляется взаимодействие между колебаниями решетки и электронами,
мы вынуясдены обратиться к развитию соответствующих приближенных методов.
Вначале кажется естественным воспользоваться теорией возмущений, в
которой предполагается, что энергия взаимодействия очень мала.
Соответственно этому представим оператор Гамильтона, как обычно, в виде
суммы
Н = Н0 + Нт, (30.1)
где Но относится к невозмущенпоп задаче, а //лз рассматривается как малое
возмущение. Решения уравнения Шредингера с невоз-мущепным гамильтонианом
#"=2 fc-'k"k"k + 2 Tiawblbw (30.2)
k w
могут быть легко найдены (см. упражнение 1 § 15). Различные k-состояння
электронов могут быть, смотря но обстоятельствам, либо заняты электроном,
либо свободны. Состояния колебаний решетки с различными волновыми
векторами w могут быть заняты определенным числом фононов. Примерами
таких состояний могут быть
ф(0) = 4оф0; йк+0(40Ф"; •••; <ф=ШпФ0. (30.3)
У га!
Пусть теперь включено взаимодействие, так что функции
(30.3) более не являются решениями соответствующего гамидьто-
§ 30] НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 227
ниану (30.1) уравнения Шредингера. Теперь целесообразно перейти к
представлению взаимодействия (см. § 16). Тогда соответствующее уравнение
Шредингера принимает вид
| ШФИ) =Д,3ШФ(г), (30.4)
где Нвз ниже будет выписан еще раз в явном виде. Положим, что в начальный
момент времени t = 0 существует состояние вида (30.3), так что
справедливо соотношение
Ф(0) = Ф(0), (30.5)
поскольку в начальный момент времени t - 0 представления Шре-днпгера и
взаимодействия совпадают. Если (30.4) рассматривать как дифференциальное
уравнение по времени, то интегрирование
(30.4) сразу дает следующий результат:
t
O(t)^-±-§HB3(x)Q>(T)dT + $>(0). (30.6)
о
Естественно, что пока мы еще ничего не выиграли, так как искомая функция
Ф вновь стоит под интегралом в правой части
(30.6).
Теперь воспользуемся тем, что возмущение должно быть малым. Тогда искомая
функция состояния и после включения возмущения, по меньшей мере в самом
начале, изменится очень мало, так что левая часть (30.6) будет лишь
незначительно отличаться от Ф(0). Тогда функцию Ф(т) под интегралом
следует заменить иа Ф(0), что ведет к пренебрежению в (30.6) членами
второго и более высоких порядков относительно Нвз. После этого уравнение
(30.6) переходит в
t
Ф W = 1Г IW йх'Ф (°) +ф (°)- (30-7)
О
В правой части этого уравнения как функция Ф(0), так и оператор Йвз
заданы в явном виде, так что можно вычислить искомую функцию Ф("). В этом
и состоит теперь наша задача. Для этого зададим явно оператор Нвз в
представлении взаимодействия. Оператор IIвя в представлении
взаимодействия (см. (29.26)) точно в тех же обозначениях уже был введен в
§ 16, однако ради полноты наложения выпишем его еще раз,
Нв3 (t)=^2 {^w"k+w"k&wei(Ek+w_8k-"w)T + k.w
+ ^k"k+wbwe-i(8k+w~ek-"w)t). (зо.8)
Оператор (30.8) состоит из линейных комбинаций операторов
15*
228 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С КОЛЕБАНИЯМИ РЕШЕТКИ
[ГЛ. V
вида
(30.9)
и
(30.10)
где (30.9) описывает уничтожение, а (30.10), напротив, рождение фонона,
причем одновременно уничтожаются электроны в начальном состоянии и
рождаются в новом конечном состоянии.
Посмотрим теперь, как действуют эти операторы на начальное состояние, и
рассмотрим для этого некоторые типичные
Примеры. 1. Спонтанное испускание фонона. Пусть вначале имеется электрон
в состоянии ко, а фоионов нет. Тогда начальное состояние задается
функцией
Если подействовать оператором (30.9) на начальное состояние
(30.11), то соответствующее выражение исчезает, так как фонон
уничтожается, а в начальном состоянии, по предположению, фононов не было.
Если, напротив, подействовать па (30.11) выражением (30.10), затем
воспользоваться перестановочными соотношениями для ферми-операторов и тем
обстоятельством, что действие оператора уничтожения на Фо дает нуль, то
мы получим
ящнми в (30.8) экспонентами п Й#и , а затем просуммировать по к и w. Если
затем подставить полученный таким образом результат в (30.7), то без
каких-либо дальнейших вычислений получаем
Ввиду присутствия в (30.13) символа Кроиекера, это выражение переходит в
I Ф (0) = <Ф"
(30.11)
як ^"-Фо Sk+\v,k0-Чтобы получить 7/li:i"j;L/l>(1,
(30.12)
следует перемножить (30.12) со сто-
Ф(1) =
t
Ф(*) =
t
Результат (30.14) можно интерпретировать следующим образом. Из начального
состояния, в котором имеется электрон с волновым
§ 30]
НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
229
вектором ко, под влиянием возмущения возникает новое состояние с фононом,
волновой вектор которого равен w, и электроном, который перешел из
начального состояния ко в новое состояние ко - w. Этот процесс можно
представить наглядно с помощью диаграммы (шш графика).
Здесь и в последующем изложении мы постоянно будем читать эти диаграммы
