Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
не зависящее от вида функциональной зависимости IgJ2 от и>. 16*
244 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С КОЛЕБАНИЯМИ РЕШЕТКИ [ГЛ. V
Если же, наоборот, Т мала, то мы должны учесть, что наибольший вклад дают
фононы малых энергий (т. е. с малыми волновыми векторами). Тогда возможны
только такие распределения, для которых функциональная зависимость
принимает вид
nV} = nV}(^j- j. (31.43)
Далее, поскольку, как уже было отмечено, важны только фононы с малыми
волновыми числами, то верхний предел интеграла в
(31.39) можно устремить к бесконечности. Делая замену переменной (w/T
-> w'), можно сразу же найти температурную зависимость интеграла
оо
j \gw\2w3nw (31.44)
О
Если, например, IgJ2 ~ w (металлы!; см. (29.34)), то мы получаем, что
(31.44) ~ Г5. Подставляя это выражение в (31.35), находим температурную
зависимость проводимости
0~|Лк|~Г-5. (31.45)
Такая температурная зависимость действительно имеет место в простых
металлах.
§ 32. Нестационарная теория возмущений (второй порядок): собственная
энергия, перенормировка массы
Этот параграф является продолжением § 30, в котором была рассмотрена
нестационарная теория возмущений в первом порядке. Как мы видели,
уравнение Шредингера можно формально проинтегрировать, что приводит к
уравнению
t
ф (f) = ф (0) -f- J Нвз (т) Ф (т) di. (32.1)
о
Здесь функция состояния Ф и гамильтониан взаимодействия взяты в
представлении взаимодействия. Так как интегральное уравнение (32.1) так
же трудно решить, как и уравнение Шредингера, мы попытались решить его
приближенно, подставив в правую часть под интеграл вместо Ф(т) начальное
состояние Ф(0). Эта подстановка привела к улучшенной функции состояния,
которая определяется выражением
i
Ф(1)(^=Ф(0) + -|-|#вз(т)Ф(0Мт. (32.2)
,)
Эту процедуру можно продолжить, подставляя под интеграл в
§ 32] СОБСТВЕННАЯ ЭНЕРГИЯ, ПЕРЕНОРМИРОВКА МАССЫ 245
(32.1) на место^функции состояния Ф(т) теперь уже не начальное
состояние Ф(0), а улучшенную функцию состояния Ф(1)(т). В результате мы
получили еще более точную функцию состояния Ф(2):
t
ф(2) (t) = ф (0) + ± j явз (т) Ф(1) (т) dx. (32.3)
О
Если в правую часть (32.3) подставить явный вид функции Ф(1), то получим
явное выражение для функции Ф(2):
t
Ф(2) (t) = Ф (0) + -A- j dxx Нвз (Tl) Ф (0) +
о
t %2
(ift*) j ^Т'2 ^ ^Е3 ^Е3 ^
О о
явное в том смысле, что в правой части следует подействовать стоящими там
операторами на начальное состояние, а затем вычислить получившиеся
интегралы. Это вычисление мы проведем на примерах, снова выбрав в
качестве оператора Гамильтона Нвз оператор взаимодействия между
электронами и колебаниями решетки. Этот гамильтониан, как мы видели в
предыдущей главе, имеет следующий вид:
(т) = 2 (- "k+wakbwe^^+w-^^w)' +
k w поглощение фононов
+ S (- igl) a^k+w&we-^k+w-Sk-oME (32.5)
k.w испускание фононов
Тогда же мы обнаружили, что каждому члену можно поставить в соответствие
определенный процесс, как это указано в формуле (32.5). Рассмотрим
функцию состояния (32.4) более обстоятельно. Первые два ее члена уже
встречались нам в предыдущем параграфе, так что теперь нужно исследовать
лишь последний член. В этом члене следует дважды последовательно
подействовать оператором Йвз на начальное состояние. В качестве
начального состояния выберем
I Ф (0) = а?Ф0. (32.6)
Если подействовать оператором Явз(т1) вначале на (32.6), то, как нам
известно из § 30, отличный от нуля вклад дает только член
246 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С КОЛЕБАНИЯМИ РЕШЕТКИ (ГЛ. V
вида
b$a?_wak | а+Ф0 = a?_w&>08к,к.- (32-7)
Следовательно, возникает процесс, представленный^на рис. 38. Если теперь
подействовать еще раз оператором Нвз в момент времени т2, то мы получим
два процесса, а именно: либо повторное испускание фонона, либо поглощение
уже имеющегося фонона с волновым вектором w (рис. 47). В качестве примера
мы обсудим процесс поглощения фонона. Для этого следует, учитывая
результат (32.7), вычислить выражение
frwak+waklako-w&w(r).)' (32-8)
где в качестве конечного состояния принимается Щ^Ф0, т. е. точно
начальное состояние. После-довательное включение операто-f Л, ров
взаимодействия в моменты
-"kj"--~2-к -ш / '-к- времени Х\ и т2 можно, очевид-
0 0 но, представить с помощью диа-
Рис. 47. Собственно-энергетиче- граммы рис. 47.
екая часть диаграммы: виртуаль- Теперь мы рассмотрим об-ное испускание
фонона. стоятельно ту часть (32.4), кото-
рая вновь приводит (после только что упомянутых процессов испускания и
поглощения) к начальному состоянию
I Ф (*) = (t) Ф0 + а?ф0. (32.9)
Наша задача состоит в явном вычислении коэффициентов Ск0Ш. Для этого в
конечном итоге следует учесть, что вершины возникают при действии
операторов взаимодействия (32.5). Числовой множитель оператора, который
представлен выражением
(32.7), имеет вид
(- igD 8k+w,k J el<ek.-w+ew-Bkt)*. dTl, (32.Ю)
О
причем здесь учтено, что согласно (32.5) должно быть проведено
интегрирование по п от 0 до т2. Далее нужно учесть, что согласно (32.5)
следует еще провести суммирование по к и w. В вершине 2 появляется
