Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
(28.23)
l#m I* '
Соответственно количеству стоящих в (28.23) операторных выражений
разложим На на три части:
I Яа = С + Я(1)+Я<2>, (28.24)
где С - независящая от операторов константа:
С =------1-2 Ji-m. (28.25)
l^fcm
Оператор Я(1> билинеен по операторам s+ и s~:
я<1) = - 2 Si+Sm/im. (28.26)
ly-m
Здесь использовано сокращенное обозначение
Jim = j 1-т - 6im Jl-m'. (28.27)
т'
Формальное различие между (28.23) и (28.26) связано с тем, что все
билинейные члены в (28.23) формально можно записать в виде (28.26).
Наконец, Я<2> содержит члены порядка выше второго. Эти члены мы выпустим
из рассмотрения, полагая, что они дают лишь малый вклад. Более того, мы
увидим, что в определенных случаях эти члены точно пропадают. Штрих у
знака суммы в (28.27) и стоящий за ним индекс 1 указывает на то, что член
суммы с ш'=1 опущен. Эту сумму кратко обозначим в виде
2'(1)/i-m' = /(0). (28.28)
m'
Sl
Поскольку стоящий в (28.28) в функции J вектор при сдвиге на любой из
векторов решетки не изменяется, то сумма действительно не зависит от
индекса 1.
После этих подготовительных замечаний попытаемся решить уравнение
Шредингера с оператором Гамильтона (28.23) НаФ = ЕФ. Поскольку На
коммутирует, в частности, с Sz, то следует попытаться так определить
волновые функции, чтобы они
§ 28]
МАГНОНЫ
213
одновременно были еще и собственными функциями суммарной компоненты
оператора спина в направлении z:
I $2Ф = МФ. (28.29)
Начнем с решения (28.29) и будем искать основное состояние системы, в
котором все спины параллельны и направлены вдоль направления z. Эта
волновая функция имеет вид
I Фг = Ф (Щ ¦ • 4) = П Фт (I), (28.30)
I m
причем произведение распространяется на все N узлов решетки. Фщ (1)
является собственной волновой функцией оператора szm со спином,
направленным вниз. Собственное значение, соответствующее Фв, равно
М = - (28.31)
Если теперь подействовать на функцию (28.30) в каком-либо узле решетки 1
оператором переворота спина sf, то получится (см. (28.13) и приведенные
там соображения)
5,~Фг (| ... |) = 0. (28.32)
Подействуем теперь полным оператором Гамильтона (28.23) на функцию
(28.30). Ввиду свойства (28.32) после этого остается только постоянный
член (28.25). Энергия этого основного состояния дается выражением
Eg = ~± 2 ш, (28.33)
8 1т=ш
причем суммирование следует провести по всем отличающимся друг от друга
индексам 1 и т. Теперь попытаемся, исходя из этого основного состояния,
сконструировать первое возбужденное состояние. Для этого вновь сначала
ищем собственную функцию оператора (28.29), однако для такого состояния,
в котором один спин перевернут. Соответствующее собственное значение
дается выражением
М = - 4- + 1- (28.34)
Поскольку спин может быть перевернут в любом узле 1 решетки, то имеется
целый набор волновых функций
Ф (fl •••'!')> • • ч Ф (I • • • TW • • • 1)" (28.35)
и 1
ч
которым соответствует одно и то же собственное значение энергии (28.34) в
уравнении (28.29). Для того чтобы решить уравне-
814
ЭЛЕКТРОНЫ В "ЗАМОРОЖЕННОЙ" РЕШЕТКЕ
1ГЛ. IV
ние Шредингера с оператором Гамильтона (28.23), представим функцию Ф как
комбинацию состояний (28.35):
Ф =2С1ФЦ ..4fj ...|). . (28.36)1
1 1
Так как кристалл трансляционно симметричен, то можно, как и в случае
блоховских функций, прийти к заключению, что коэффициенты с j должны
иметь вид
Ci= C0eikl (28.37)
Далее воспользуемся приемом, который позволяет записать функцию (28.35) в
более элегантном виде. Относительно операторов спина (см. (28.11)) нам
известно, что оператор st имеет свойство превращать спиновую функцию со
спином вниз в спиновую функцию со спином вверх. Поэтому можно
воспользоваться следующим соотношением:
Ф (j .. ... I) = s+фе, (28.38)
l
где Фв дается выражением (28.30). С учетом (28.37) и (28.38) волновая
функция (28.36) принимает вид
Фк = у= 2 еШ*1+фг, (28.39)
где к - обычный волновой вектор. Совершенно очевидно, что функция (28.39)
представляет спиновую волну, распространяющуюся но кристаллу и обладающую
волновым вектором к. Здесь обнаруживается явная формальная аналогия с
оператором рождения гармонического осциллятора. При рассмотрении
гармоническою осциллятора мы видели, что возбужденное состояние может
быть создано действием оператора рождения на основное состояние. В данном
случае из уравнения (28.39) также видно, что спиновая волна, т. е.
возбужденное состояние, может быть создана действием оператора
| # = ^2eik,si+ (28'4°)
на основное состояние. С помощью (28.40) состояние (28.39), в котором
присутствует спиновом волна, можно представить в виде 6
| Фк = #Ф*. (28.41)
Введем эрмитово сопряженный (28.40) оператор
. (28.42)
который кажется естественным сопоставить оператору уничто-
§ 28]
МАГНОНЫ
215
жения. Обратно, отдельные спиновые операторы можно получить обращением
фурье-преобразования (28.40) и (28.42):
^ = (28*43)
*r=^2elklSk* (28.44)
Согласно проводимой нами аналогии с гармоническим осциллятором имеет
смысл попробовать переформулировать теперь оператор Гамильтона (28.24) с
