Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
уничтожение и последующее рождение электронной дырки и одновременно тем
самым уничтожение и последующее рождение электрона. Это выражение, таким
образом, описывает рассеяние электрона на электронной дырке, которое
обусловлено кулоновским взаимодействием. Это рассеяние в рамках нашего
формализма заключено в выражении взаимодействия W7. Аналогичным образом
можно описать ту часть
взаимодействие Между электронами и дырками
173
оператора взаимодействия (22.23), которая обусловлена (22.25). Отсюда
сразу получаем
k k.\
у Л (22'31)
Первую сумму в этом выражении можно интерпретировать как обменное
взаимодействие электрона в зоне проводимости с заполненной валентной
зоной, а вторая сумма является для нас очень важной, поскольку она
описывает кулоновское обменное взаимодействие между электроном в зоне
проводимости и электронной дыркой. То, что здесь действительно речь идет
об обменном взаимодействии, станет ясно, если исследовать явное
представление (22.18) для W. При этом можно установить, что для равных
значений к в валентной зоне, т. е. для к4 = к3, и для равных значений к в
зоне проводимости, т. е. для к2 = к4, появляется смешанная зарядовая
плотность. Проведенные нами выше рассуждения были довольно элементарны,
однако, естественно, несколько длинноваты. Поэтому следует еще раз
посмотреть, чего же мы достигли в результате всех этих преобразований.
Задача состояла в том, чтобы вместо электронных операторов в валентной
зоне ввести соответствующие операторы электрон-, ных дырок. При этом
получились совершенно различные вклады, которые следует теперь поставить
в соответствие различным физическим процессам. Объединим полученные выше
результаты в общий оператор Гамильтона для электронов и электронных дырок
следующим образом:
II = Но + Явз - Яэл + Яд + Яэл-д + Яэл-эл +Яд-д + W
заполн-
(22.32)
Индексы эл (= электрон) и д (= дырка) указывают на то, какие операторы
появляются в отдельных членах Я. Рассмотрим теперь отдельные вклады,
которые получим соответствующим применением выведенных выше выражений:
Яэл = 2 "к[jcpk.L (- А + V (x)j <pk>L d3x +
+ 2И' у\у %-w(y lL\v ?)}}•¦ (22.33)
Этот член описывает энергию электронов в зоне проводимости (однако без
учета взаимодействия электронов друг с другом или с электронными
дырками). Это выражение уже было найдено нами в § 20 и там же обсуждено.
Мы можем, учитывая трансля-1 ционную симметрию, положить к! = к4. Для
электронных дырок
174
ЭЛЕКТРОНЫ В "ЗАМОРОЖЕННОЙ" РЕШЕТКЕ
[ГЛ. IV
мы получим совершенно аналогичное выражение (без учета взаимодействия
дырок между собой или с электронами)
Яд = - 2 d* {j<Pk.v (- А + v (х)) Фк,г dax +
к к' I к' к
V V IV V
)-*(¦
к' к
V V
к' к
V V
(22.34)
й это выражение также встречалось нам уже ранее в § 21. Следующее
выражение имеет основополагающее значение для рассмотрения свойств
полупроводников. А именно, оно описывает взаимодействие между электронами
и электронными дырками
яэл-д= 2 (-!) 1
к,...к.
к. к"
L V
к3 к4
V L
+
+ 2 '!|'* *'). (22.35)
к4...к4
Здесь важен указанный в первой сумме в явном виде знак минус, который
наглядно можно интерпретировать следующим образом: в кулоновском
взаимодействии, которое пропорционально квадрату заряда е, один из знаков
поменялся на противоположный, что означает, как мы уже видели ранее, что
заряд электронной дырки является положительным. Три последних члена в
(22.32) интерпретируются особенно просто. Эти члены суть следующие:
электрон-электронное взаимодействие в зоне проводимости:
Яэл.эл -
2 ак1а^2йк3ак4й7 ^
к, к"
к,...к
кз к4 L L
(22.36)
взаимодействие между электронными дырками в валентной зоне:
ЯД-Д-ТД ^кз^к^к^к 2Тй(у у2 J у y'j
(22.37)
и, наконец, постоянный член, не содержащий никаких операторов:
(йзаполн == 2 J Фк,Т ^^ Д -(- F (x)j фк,у d3X -f-
+ Т|{т("'|'' г)-т("'|"')}, (22.38)
который описывает просто энергию заполненной валентной зоны.
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ ЭЛЕКТРОНАМИ И ДЫРКАМИ
175
В заключение рассмотрим еще стоящие в формулах для вкладов в энергию
(22.33) и (22.34) довольно длинные выражения в фигурных скобках. Эти
выражения, как можно установить при ближайшем рассмотрении, уже
встречались нам в §§20 и 21 и представляют средние значения энергий
электронов и электронных дырок, Приведем эти выражения еще раз, чтобы
читателю не возвращаться назад,
В большинстве важных в экспериментальном отношении случаев можно принять,
что электроны и дырки находятся вблизи края зоны. Поэтому энергию Е ь,ь
сразу же можно разложить в ряд
Соответственно разложение энергии Е ь, у принимает вид
Если же минимумы вырождены и находятся в точках к Ф 0, то и в этом случае
можно, естественно, провести соответствующие разложения. Мы не будем,
однако, углубляться в такие тонкости, так как все это не имеет отношения
к фундаментальным методам квантовополевой теории. Гамильтониан Н может
служить исходным пунктом для рассмотрения целого ряда чрезвычайно важных
в физическом отношении проблем. В последующем изложении мы особо выделим
