Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
исходить из полностью заполненной валентной зоны, которая описывается
функцией состояния Фг. В точке 1 одновременно рождаются электрон и
электронная дырка. Ввиду трансляционной симметрии задачи следует провести
суммирование по всем точкам локализации 1 с множителями eitl. Волновая
§ 24J
ЭКСИТОНЫ ФРЕНКЕЛЯ
187
функция, таким образом, имеет следующий вид:
ф = ^ 2 em*Ut<S>g (24.22)
(N равно числу узлов решетки и отвечает за нормировку). Опе-
ратор
atdt = Bf (24.23а)
в (24.22) описывает рождение локализованного в точке 1 экситона.
Соответствующий (24.22) оператор уничтожения экситона имеет вид
= By (24.236)
Наша цель состоит в том, чтобы выразить полный гамильтониан
(24.21) через операторы Bt и By Стоящие в последнем члене
(24.21) операторы могут быть следующим образом выражены через экситонный
оператор В\ '¦
ataidydi = -f- (aydy) (rfifli) = ByBv (24.24)
так что
% afadpdiW I1 *' •' 'WS V l). (24.25)
lj' \V L V Lj ffy 1 1 \V L V L] v
Это выражение описывает уничтожение экситона в точке 1 и последующее
рождение экситона в точке Г. Спрашивается теперь, какой вклад дает третий
член в (24.21)?
Рассмотрим действие стоящих в нем операторов на локализованное экситонное
состояние. Тогда сразу получаем результат
ayaydfdi | ф 0 (24.26)
при 1 = т, Г = т, т. е. 1 = 1'.
При использовании волновой функции (24,22) из третьего члена (24.21)
следует сохранить только те слагаемые, для которых индексы 1 и 1' равны:
1 1 1) = 2 atdtdiaiW (¦' 1 1 1
1 1 1 \V L L V] \V L L V
= 2В^(гЦу)- (24-27)
Выражение (24.27) приводит лишь к изменению энергии локализованного
экситонного состояния и не может привести к переходу между различными
точками кристалла. Ради полноты рассмотрим два первых члена в (24.21).
Действие типичного опера-
188 ЭЛЕКТРОНЫ В "ЗАМОРОЖЕННОЙ" РЕШЕТКЕ [ГЛ. IV
торного выражения из первой суммы в (24.21) на локализованное состояние
дает следующий результат:
at ai'fflm = at dtf?>g8Vm. (24.28)
При 1 ?= т это означало бы, что возникает состояние совершенно нового
типа, а именно такое, в котором электрон удаляется от электронной дырки.
Для того чтобы не прийти к противоречию с нашим основным предположением
(24.22), мы вновь ограничимся предельным случаем исчезающе малого
перекрывания, так что вкладом #эфф при 1 ?= m можно пренебречь. Начиная с
этого момента, мы рассматриваем только члены с 1 = m и полагаем
Нэ^ь - Е0,ь. (24.29)
В действительности левая часть этого равенства больше не зависит от I,
поскольку Нf(in*,l зависит только от разности 1 -т. Равным образом, для
электронной дырки полагаем
ЯЙ?" = Е0,я. (24.30)
Выразим теперь произведение операторов ata\ (см. первую сумму в (24.21))
через произведение операторов BtВi- При этом утверждается, что а+Й1 можно
заменить на произведение операторов Bt В р по крайней мере при
использовании функций состояния (24.22):
ata^BtBi. (24.31)
Утверждение. Соотношение I atava+dm(r)e = б1>та+й+Фг (24.32)
может быть заменено соотношением
| BtBvB+<!>g = 8hmBtl<!>g. (24.33)
Для доказательства нужно лишь подставить в равенство (24.33) определения
операторов Bt, BY (24.23а) и (24.236) и воспользоваться перестановочными
соотношениями между операторами а:
at dt (24.34)
(Следует помнить, что di<I>g = 0, aid>g = 0.)
Используя соотношения (24.32) и (24.33), первую сумму в
(24.21) можно переписать следующим образом (1 = т):
Е Hl%a+ai = E0iL2i BtBu (24.35)
i i
Точно такое же соотношение справедливо и для второй суммы в (24.21).
После того как третья и четвертая суммы переписаны
§ 24] ЭКСИТОНЫ ФРЕНКЕЛЯ 189
с использованием операторов Bt и Вл (см. (24.25) и (24.27)), выражение
(24.21) окончательно принимает следующий вид:
н = 2общ + 2 SitSj# (1 - I'), (24.36)
1 1,1'
причем мы положили
¦^о.общ = ¦S'o.l "l" ^о,д - Wq, (24.37)
(24-38)
tf(l-l') = #(lr^'). (24.39)
А
а постоянную энергию АЕ опустили. С помощью определения W
(24.9) легко убедиться, что (24.39) зависит только от 1 - 1', а
(24.38) совсем не зависит от 1.
Нельзя не признать аналогию между (24.36) и оператором Гамильтона
связанных гармонических осцилляторов. Правда, мы не показали что В+, В
являются бозе-операторами. Мы вернемся к этому в § 26. Здесь же покажем в
заключение, что функция состояния (24.22) является решением
соответствующего гамильтониану (24.36) уравнения Шредингера, и определим
собственные значения энергии этого уравнения. Для этого подставим функцию
состояния (24.22), которая теперь выражена через операторы 5 if:
ф=-^2е{к'^ (24.40)
в гамильтониан (24.36). Учитывая соотношение (24.33), получаем НФ =
Яо.общф + 2 2 t1 - у) В$ел'Фе. (24.41)
Второй член преобразуем следующим образом:
L 2 eikvBt 2 W (! - Г) eft(1-1,) Фг. (24.42)
W(k)
Очевидно, что выражение (24.42) можно трактовать как произведение
исходной волновой функции (24.40) и энергии ТУ (к). Тем самым доказано,
что при указанных выше упрощениях волновая функция (2422) или (24.40)
является собственной функцией Гамильтона (24.21), причем собственные
