Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
возникнут, если удалить некоторые электроны из валентной зоны, т, е.
создать в вей электронные дырки и одновременно перене-
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ ЭЛЕКТРОНАМИ И ДЫРКАМИ
167
сти несколько электронов в зону проводимости. Физически это может
происходить, например, при облучении кристалла светом, в результате чего
электроны из валентной зоны выбиваются в зону проводимости. Очевидно, что
при этом число появившихся в зоне проводимости электронов равно числу
электронных дырок в валентной зоне. Можно, однако, впрыснуть в кристалл
носители заряда внешним током, так что в последующем изложении мы примем,
что число электронов в зоне проводимости может отличаться от числа
электронных дырок в валентной зоне. Исходным пунктом нашего рассмотрения,
как обычно, является уравнение Шредингера
НФ=ЕФ (22.1)
с оператором Гамильтона
Я = J ф+ (х) (- ? А + 7Р (х)) tj) (х) d"x +
+ -j- J JФ+ 00 Ф+ (*') |Х 1 х--| Ф (О Ф 00 d*xd3x''• (22.2)
который уже встречался нам и поэтому не требует более пояснений.
Поскольку мы хотим рассмотреть состояния в валентной зоне и зоне
проводимости в явном виде, разложим операторы поля по собственным
функциям валентной зоны и зоны проводимости
Ф+(х) = 2(r)к>Фк,Их) +2як,ьфк,ь(х), (22.3)
к к
ф (х) = 2 Лк.уфк.у (X) + 2 Як.ьФк.ь (х). (22.4)
к к
При этом предположим, что эти волновые функции в валентной зоне и зоне
проводимости определены с помощью некоторого эффективного гамильтониана
| ЯЭффф(х) =Яф(х), (22.5)
где
Я8фф = - JJ- А + 78фф (х). (22.5а)
Этот оператор Гамильтона встречался нам в предпоследнем параграфе (§ 20)
и мы полагаем, что нам удалось определить волновые функции фк.у и фк.ь,
что, как уже было отмечено, не является задачей квантовополевой теории, а
должно быть предоставлено специалистам по вычислению зонной структуры.
168
ЭЛЕКТРОНЫ В "ЗАМОРОЖЕННОЙ" РЕШЕТКЕ
[ГЛ. IV
Для дальнейшего предположим, что волновые функции <р взаимно
ортогональны;
Коэффициенты разложения а и а+ в (22.3), (22.4) вновь, естественно,
являются операторами, которые удовлетворяют перестановочным соотношениям
В соответствии с двумя слагаемыми в (22.2), разложим оператор Гамильтона
на часть, описывающую свободное движение частиц, и на часть, которая
описывает взаимодействие:
Если подставить разложения (22.3) и (22.4) в соответствующие выражения,
то для Н0 получим следующее выражение:
Ввиду трансляционной симметрии задачи, двойное суммирование по к и к'
переходит в однократное. Индексы i и j могут принимать оба значения: L
(зона проводимости) и V (валентная зона). Второе стоящее в (22.8)
слагаемое, которое связано с взаимодействием, после подстановки
разложений (22.3) и
(22.4) принимает вид
Последующая процедура в принципе очень проста. Вместо электронных
операторов валентной зоны вводим операторы электронных дырок согласно
соотношениям
Для упрощения обозначений опустим в дальнейшем у операторов, относящихся
к электронам проводимости, индекс L:<
(22.6)
^k,i^k',J Н- ^k',5^k,i 0, (r)k,i^k',y' Н- ^k^j^k,* - 0,
(22.7)
(r)k,i(r)k',i + (r)k',j"k ,г = Skk-6|j.
(22.8)
kik2k3k<
(22.11)
взаимодействие между электронами и дырками
169
В последующем изложении будет сделано одно дополнительное приближение. А
именно, будем считать, что количества электронов в зоне проводимости и
валентной зоне независимы друг от друга. Это предположение на первый
взгляд может показаться само собой разумеющимся, поскольку мы не
рассматриваем реальные переходы между валентной зоной и зоной
проводимости, т. е. считается, что акты рождения электронов и электронных
дырок уже закончены. Мы рассматриваем только, поведение уже созданных
электронов и электронных дырок. Следует, однако, подчеркнуть, что,
несмотря на кажущуюся очевидность этого предположения, здесь идет речь о
существенном приближении, согласно которому мы пренебрегаем так
называемыми виртуальными переходами. Дело в том, что под влиянием
взаимодействия устанавливаются поляризационные эффекты, при которых,
например, функции электронов в валентной зоне накладываются на функции
электронов в зоне проводимости, что, однако, не сопровождается
реальным переходом. Эффекты такого рода будут обстоятельно
обсуждены позже в § 25, те-
перь же мы обратимся к расчету. Формализм этого расчета состоит в том,
что согласно (22.11) вводятся операторы электронных дырок, затем оператор
Гамильтона преобразуется таким образом, чтобы все операторы уничтожения
стояли справа. Согласно нашим предположениям проведем в На следующие
упрощения и преобразования:
для i = j = L: йк,гвк,г = вкйк, (22.12)
для i = j = V: a^va k,v == 1 - d?d^- (22.13)
В Я"3 следует предусмотреть все возможные комбинации индексов, а именно
следующие:
1. Все индексы принадлежат зоне проводимости:
3, Два индекса принадлежат валентной зоне и два - зоне проводимости. При
этом, однако, речь идет не о таких комбинациях, когда одновременно
рождаются две частицы в зоне проводимости и две в валентной зоне, а о
таких комбинациях, когда одна частица уничтожается и одна рождается в
