Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
через е0 и ^" - электрическая и магнитная проницаемости
вакуума. Снова вводим векторный потенциал А и скалярный ф, определяя их
связь с полями уравнениями [см. (2.506)]:
fi=[V, A], Е -Vq>--^-; (8.211)
будем рассматривать ф и А как Q (л;) системы. Плотность
лагранжиана электромагнитного поля задается в виде
^=-{е0(?'-с*5а)-РФ + (УЛ), (8.212)
где с - скорость света в вакууме. Из (8.212) находим:
причем отсюда (8.210, I) следует в качестве уравнения движения Лагранжа.
Мы получим также:
где использованы формулы (8.211) и равенство е0и0 = с~2. Из (8.214) и
(8.124) вытекает уравнение Максвелла (8.210, IV). Что касается уравнений
(8.210,11 и III), то они удовлетворяются уже самим выбором потенциалов,
определяемым формулами (8.211).
Так как X ие содержит ф, то мы не в состоянии ввести плотность импульса,
соответствующую ср; поэтому невозможно, не вводя дальнейших модификаций,
найти плотность гамильтониана такую, чтобы уравнения Максвелла (8.210)
следовали бы из уравнений (8.129). Однако мы увидим, что уравнения
Максвелла могут быть записаны в канонической форме, если воспользоваться
компонентами Фурье переменных поля.
Мы начнем с того, что введем комплексную переменную F, определив ее
следующим образом:
Тогда уравнения (8.210) можно переписать в виде:
Теперь мы воспользуемся разложением Фурье и одновременно разложим каждый
член на три компоненты - одну, параллельную волновому вектору к, и две
другие, нормальные вектору k:
Здесь через е<р обозначены единичные векторы, образующие правую тройку
(предполагается, что координатная система х, у, z правая); вектор е'ь
параллелен к, так что
F = E + icB.
(8.215)
(8.216)
F = Q - т ? • *> (але? + Ьке? + скеТ). (8.217)
k
где \k\ = k; наконец, Q - это конечный объем, на границах которого по
предположению выполняются периодические граничные условия. Следует
заметить, что разложение с использованием ёк, е'ё', е'?' различно для
различных к, т. е. для различных членов, входящих в сумму по волновым
векторам.
Записывая аналогичное разложение для р и J,
р = Q-1/2 У] р* ' х\ (8.219)
k
у= Q-1/2 2 ¦ *> (Д1 'еТ + itef + j'g'e'g ), (8.220)
k
мы получим из уравнений (8.216) следующие связи:
ikch = р*/е0, (8.221)
(I) - ikbk - iakc~x = iR0jk,
(II) ikak - ibkC'1 = iR0jk\ (8-222)
(III) -ickc~1 = iR0jT,
где
Ro= (llo/Eo)1/2 (8.223)
представляет собой характеристический импеданс вакуума. Из уравнения
непрерывности
(V-j)+f = 0 (8.224)
мы найдем, что
ikjit= - pk, (8.225)
откуда ясно, что (8.222, III) следует непосредственно
из (8.221).
Ниже мы будем предполагать, что никаких зарядов
и токов нет, так что р* = /*' = /*' = /*'= 0, и поэтому,
также из (8.221),
с* = 0. (8.226)
Электромагнитное поле в этом случае представляет собой поперечное поле
(поле излучения) и описывается (комплексными) переменными а* и bk.
Поскольку эти переменные комплексные, мы можем взять за независимые
переменные либо их действительные и мнимые части,
217
либо принять за независимые переменные ак, bk, at, bt. Ситуация здесь
отличается от той, какую мы имели в начале предыдущего параграфа и
которая привела нас к (8.105), потому что F - величина комплексная, тогда
как ? была действительной. Уравнения движения, определяющие изменение
этих переменных, будут теперь [ср. (8.222,1 и II)]!
а* =" - ckbk, at "=- - ckbt, ^ 22^
Ьк = ckak, bt^ckat.
В качестве независимых переменных мы выберем здесь действительную и
мнимую части ак и Ьк и запишем:
aA = e-1/2(p4 + /j5*), ft* = Асе-'/* (</* + #*), (8.228)
так что уравнения (8.227) примут вид:
рк*~ - (ckf qk, Qk = Pk, pk = - {pkfqk, qk=Ph. (8.229)
Эти уравнения можно получить из канонических уравнений движения (5.108),
если в качестве гамильтониана выбрать
я=№+(c*)S +pl+?J] (8-230)
к
и если величины р*, qk и <7* рассматривать как пары канонически
сопряженных переменных.
Если выразить Я через ак, bk, at, b%, мы получим:
Н = 1-го^а*а% + ЬкЬ*к), (8.231)
к
и если мы выберем в качестве канонических импульсов У hat, и укак, а в
качестве их сопряженных координат Уkbt и укЬк, где yl = zJ2ck, уравнения
(8.227) будут следовать из (5.108).
Из (8.230) ясно, что задача о поле электромагнитного излучения может быть
сведена к задаче о совокупности гармонических осцилляторов. Мы отметим
также, что выражение для Я (8.230) может быть переписано с помощью
(8.228), (8.226), (8.217) и (8.215) в виде:
Н- ' е0 J (?* + с*Ва) d*x\ (8.232)
SU
ето - хорошо известное выражение для энергии электромагнитного поля.
Случай, когда р и j отличны от нуля, может быть рассмотрен аналогичным
образом, но мы предоставим его разбор читателю. Существуют, однако,
некоторые тонкости, обсуждение которых можно найти в соответствующей
литературе *).
ЗАДАЧИ
1. Исследовать продольные упругие колебания бесконечно длинного
упругого стержня, аппроксимируя эту систему дискретной системой точек
равной массы, связанных между собой одинаковыми пружинками пренебрежимо
малой массы. Предполагается, что силы - чисто гармонического характера
