Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
(т. е. соответствуют закону Гука) и что массы отстоят друг от друга на
равных расстояниях. Рассмотреть предельный случай, когда расстояния между
точечными массами стремятся к иулю, и получить этим способом волновое
уравнение (8.101).
2. Показать, что в предельном случае очень длинных волн
распространение продольных волн вдоль бесконечной линии вквиди-стантно
расположенных атомов, упруго взаимодействующих только с ближайшими
соседями, с чередующимися массами т и М, соответствует распространению
продольных волн вдоль эквивалентной однородной линии.
8. Струна длиною 2L растянута до натяжения Т между двумя
фиксированными точками х =• - L и х = L, Плотность струны в точке
х определяется формулой ^айти УРавненив> которому
должна удовлетворять частота малых поперечных колебаний.
4. Однородная струна растянута до натяжения Т между точками х 0 и х =
/. Небольшая переменная поперечная сила величиной F (х, t), отнесенная к
единице длины, приложена в момент t в точке х. Найти поперечное смещение
в зависимости от х и /.
Участку струны h - б < х < А ~(- б молотком сообщается поперечная
скорость о, тогда как остальная часть струны в начальный момент времени
остается в покое. Найти смещения точек струны в последующие моменты
времени и рассмотреть специально случай, когда отношение А// является
целочисленным.
б. Одни из концов однородной гибкой цепи длиной I прикреплен К
вертикальному стержню, вращающемуся с постоянной угловой скоростью Q.
Если пренебречь влиянием силы тяжести, то можно считать, что цепь
описывает круг в горизонтальной плоскости. Используя вариационный принцип
Гамильтона, получить волновое уравнение для малых поперечных колебаний;
найти частоту основной (фундаментальной) моды колебаний.
*) См., например, Я. Л. Kramers, Quantum Mechanics, North Holland
Publishing Company, 1967, гл. 8.
ДВА МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДОПОЛНЕНИЯ
1. Теорема Эйлера (к главам 2, 5).
Функция f (*1, л'2> •••, х") называется однородной порядка s, если она
удовлетворяет условию: для любого X справедливо тождество
f(Xxu Ххг......Xxn) = Xsf(xu х2, ..., х").
Дифференцируя левую и правую части этого тождества по X, получим:
д! . , д! " , , df
' Х1 ~1~
' Х.у
д (Ъгх) д (Хх2)
Полагая в этом равенстве X ¦¦
^x'+^b+---+iS!rnx*=s-fix'
д (Ух,) Хп = S ' ^ 1 ^ ('Хи Х*' " ' '
= 1, мы приходим к теореме Эйлера: df
• > %п)у
т. о. сумма всех произведений первых производных однородной функции
порядка s на соответствующие переменные равна самой функции, умноженной
на порядок однородности.
2. Теорема о решениях системы однородных уравнений (к гл. 3, § 1).
Пусть задана система п однородных уравнений с п неизвестными: auxi +
а1"х2 + • • • + а\пхп - 0. a2ixi + o.ftX-i ... -| ainxn - 0,
(*)
ап1х1 "Ь ап2х2 ""Ь • • • йппХп
Если определитель этой системы
ап а12 ... а1п
?) _ °2\ а22 ¦¦¦ а2п
0.
ат ап2
{**)
отличен от нуля, система имеет единственной решение - нулевое, т. е. лгх
= 0, хг = 0, ..., хп = 0.
Если же определитель системы D равен нулю, то система имеет бесчисленное
множество ненулевых решений, т. е. решений, отлич пых от нулевого.
Напомним, что если собрать все члены определителя, содержащие
определенный элемент а;А, и вынести этот элемент за скобки,
220
то в скобках окажется выражение, называемое адъюнктой элемента aik.
Адъюнкта элемента aik обозначается через Aik.
Если из определителя D вычеркнуть г-ю строку и k-й столбец, т. е.
вычеркнуть строку и столбец, в которые входит элемент а-1к, то, сохранив
расположение оставшихся строк и столбцов, мы получим определитель (я- 1)-
го порядка, называемый минором определителя D. Этот минор соответствует
вычеркиванию элемента aiu, и поэтому минор обозначается через М1к.
Приведем схему образования минора:
ац а12 • • а1, к-1 aik °1. k+1 • aln
а21 а22 ¦¦ а2, k-i a2k a2, k+1 ¦ a2n
Щ-1, 1 ai-l,2 • ¦ ¦ а1-1, k-i ai-i, k ai-1, k+1 • •• ai~1. л
аП а1г ¦ ai, k-i ai, k ai, k+i • • ai, л
ai+1,1 а/+1, 2 • ¦¦ ai+i, k-i a!+l, k ai+1, k+i • • • ^(+1, л
а п.1 ап 2 • • an. k-i ank an, k+1 • • ann
Можно показать, что
Aik = ( - 1 )i+kMik.
Если D - 0, а хотя бы одна из адъюнкт отлична от нуля, то из системы (*)
можно найти единственное решение для отношений
-*L _ *л~1 если, например, адъюнкта А""Ф 0.
хп ' ' хп
Пусть существует решение однородной системы (D = 0) в виде
значений
удовлетворяющих системе (*); тогда все остальные решения
найдутся
Отсюда видно, что решения определены с точностью до одной постоянной,
скажем а"; чтобы получить все решения системы (*), достаточно знать лишь
одно из решений.
Можно доказать, что в качестве решения можно выбрать адъюнкты какой-либо
строки определителя (**). Следовательно, одно из решений системы (*)
будет
Ясно, что одному из неизвестных может быть приписано произвольное
значение.
ЛИТЕРАТУРА *)
Мы приводим небольшой список литературы для дальнейшего чтения. Книги 3,
7, 9, 10 и 13 представляют собой современные учебники, посвященные
классической механике, написанные примерно на том же уровне, что и
