Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
ПI, П2, ... k
где разложение Фурье ведется уже по всем переменным.
Будем искать S.2> ... в виде рядов Фурье:
Si= 2] S"V, п" ... (Ji, ...)exp2ni'?inkwT, (7.238)
"I" Пг, ... k
S.2= I] exp 2ш-2 (7.239)
П1, Г12.
k
Вместо (7.213) мы получим теперь:
I щ- § + Hl {wr'' Jh) = El {Jk) (7 -240)
k
н аналогичное соотношение для ?2. Отмечая теперь усреднение по всем
величинам w't чертой над соответствующей величиной, т. е.
_ 1 I
Q = \...\dwT ...dw's0Q, (7.241)
о 6
мы найдем из (7.240):
Е\ = = Hod ...• (/.242)
Тогда уже можно рг:зр;шить (7.240) относительно Su и
мы найдем:
Яг'(7-243)
где
= (7.244)
Члены более высокого порядка в выражении для S могут быть получены
аналогичным путем. Из выражения
196
(7.243) видно, что нас ждут неприятности, если для полученного набора
чисел v*' можно подобрать такую совокупность целых чисел
пх.............ns, не обращающихся одно-
временно в нуль, что удовлетворяется равенство
У! Пк^'к = 0.
* (7.245)
Такой случай называется случаем вырождения системы. Если исключить этот
случай, можно еще найти такую комбинацию nlt, что сумма будет сколь
угодно
малой. Это приводит к тому, что практически для всех возмущений Н1 ряды
Фурье (7.238) и (7.239) расходятся, как это было показано Пуанкаре.
Однако эти ряды являются полусходящимися, т. е., подходящим образом
оборванные, эти ряды с высокой степенью точности могут предсказывать
поведение системы в течение достаточно большого, но не произвольно
большого периода времени.
Найдя S" (кроме Sob..., которое можно положить равным нулю) и,
следовательно, из уравнений типа (7.206) и (7.207) новые переменные
действие - угол, можно выразить координаты через новые переменные и тем
самым предсказать поведение системы.
Мы только что акцентировали внимание на том, что каноническая теория
возмущений для случая, когда степеней свободы больше, чем одна, ведет к
расходящимся рядам. Иногда удобно для решения уравнений движения (мы
приведем пример в следующем параграфе) использовать старые переменные
wjl' и J'g\ которые, конечно, остаются канонически сопряженными
переменными и для возмущенной системы, поскольку они получаются из рк и
qk каноническими преобразованиями. Это особенно удобно, когда мы имеем
дело с вырожденной системой. Простейший случай вырождения мы встретили в
гл. 6, где некоторые \>а оказались просто одинаковыми. В задаче Кеплера
оказалось даже, что v1=va=v3. В этом случае можно вместо величин J,
определяемых соотношениями (6.224) - (6.226), использовать любую их
линейную комбинацию и, в частности, умноженные на 2л величины av а2 и а3,
введенные нами в § 6.1. Если обозначить умноженные на 2л величины alt аг
и а3 через J\0', Л° и J?', а канонически сопряженные переменные - через
w'f\ xsii' и , то мы придем к невозмущеннон системе, для которой
Я0 = H0(Jn (7.246)
197
и для которой (невозмущенными) уравнениями движения будут
/,•*_ О, У--0, /30' = 0,
dtf'-vi0', dtf'-O, tb'?' = 0, ( ' 1
где V,0 определяется согласно (7.244).
Если обратиться теперь к возмущенному гамильтониану
Н = Н0 + 1Ни (7.248)
то из него следуют уравнения движения:
¦tf/'-v?'-J Г------------------
Л"------*•!$-. (7.249)
°"8 КШ,"" Jt
Мы еще раз воспользуемся рядом Фурье и запишем в виде:
Hi = 2 я"ь п., *, (J'n exp 2ni ? nkwf. (7.250)
Л$" - OO k 1
Отметив штрихом сумму no nlt не включающую в себя член с п1 = 0, мы
запишем (7.250) в виде:
H^FiJ'r, о/;', <)+W; <, iC, <'), (7.251)
где
^ = 2 Wn'.n, exp 2я/ (л2<" + п^Т),
"" "* (7.252)
G = 2] I] tfnVn.n, exp 2я/ (n^;0' + лаЦ° '+n3nu'3°).
n, n,. n,
Теперь мы приступаем к решению уравнений движения методом
последовательных приближений. Это означает, что мы можем подставить в Ях
решения невозмущенных уравнений движения (7.247), Этими решениями будут:
а^'.ы'з0', У,01, и /30'- все постоянны, a w'f' - линейная функция
времени. Таким образом, из (7.251) видно, что функция F не зависит от
времени вообще, а функция Q является периодической функцией времени.
Фактически функция F - это просто среднее по времени
198
от Ну. Теперь займемся возмущенными уравнениями движения, например,
уравнением для Ji0'. Это уравнение может быть записано в виде!
(7.253)
Интегрируя его, мы получим:
(7.254)
Мы нашли две поправки к первая из них, связанная с G, является
периодической и всегда остается ограниченной; однако вторая из них,
обусловленная функцией F, представляет собой секулярный член, который
линейно растет с течением времени. Решение (7.254) оказывается, таким
образом, пригодным только для достаточно малого промежутка времени.
Аналогичная ситуация возникает также и для всех других переменных кроме
переменной /|01, поскольку dF/dw'i' =¦ 0. Мы не станем обсуждать здесь
вопрос о том, как нужно вести себя с системами, где есть и секуляр-ные, и
периодические возмущения, но мы должны указать, что, в противоположность
квантовой механике, где сравнительно легко удается отделаться от
секулярных членов, в классической механике это сделать совсем не просто.
