Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
принимает k. Величины ?* могут быть получены из ?(*) обычным образом:
lk = L-w]l(x)e-,kxdx. (8.106)
Если нам нужно перейти к континууму значений к, мы устремляем L к
бесконечности и рассматриваем следующие пределы:
5*-*(т)1/а&(*)> (8-107)
k
которые в конце концов приводят нас к хорошо извест ным выражениям для
интеграла Фурье:
t(x, t) = (2n)-'V\l(k, t)e?k*dk,
J (8.108) l(k, t) = {2n)-'V\\{x, t)erik*dx.
Переходя в уравнении (8.101) к компонентам Фурье, мы получим:
р!"+ *•?& = 0, (8.109)
что и является уравнениями движения нашей системы - системы с бесконечным
числом степеней свободы.
Эти уравнения могут быть получены из следующего лагранжиана:
L (6*. \k) = у Р 2 U-Ь - уЕ 2 РЫ-к. (8.110) k k
С помощью уравнений движения Лагранжа (2.308), используя лагранжиан
(8.110) и считая обобщенными координатами |*, мы действительно приходим к
уравнениям движения (8.109). Любопытно заметить, что уравнения движения,
в которые входят ?*> получаются из уравнений Лагранжа, написанных для
808
Из лагранжиана (8.110) обычным путем можно найти-и гамильтониан. Прежде
всего мы вводим импульс пк, сопряженный с \к, равенством [см. (2.310)]:
"* = SL = PS-*. (8-П1)
где мы учли то обстоятельство, что в сумму по k входят члеры как с
положительными, так и отрицательными k, и поэтому член встречается
дважды. Из (5.104')-можно найти теперь и гамильтониан:
Н(1к, = +
* р* 2 Г (8.112)'
канонические уравнения движения (5.108) снова дают нам (8.109).
Мы знаем, что уравнения движения могут быть получены также и из
вариационного принципа Гамильтона. Для рассматриваемого случая это
означает, что уравнения (8.109) могут быть получены из вариационного
принципа;
b\Ldt = 0, (8.113)
где L определено согласно (8.110).
Теперь нам следует выяснить, как изменяются полу-ченные нами формулы при
переходе от к ? (х). Наша процедура должна быть такой, чтобы уравнения
движения в конце концов сводились бы к (8.101). Нужный переход может быть
проведен с помощью равенств (8.107) и (8.108), если считать, что
протяженность системы L стремится к бесконечности.
Мы начнем с того, что займемся гамильтонианом и лагранжианом, причем обе
суммы, входящие в них, мы рассмотрим раздельно. Используя определения
(8.111), мы обнаруживаем, что первая сумма в обоих случаях имеет вид:
-jp2s*U = -5-P $?(*)?(-*) <& = k
= iр (2л)->/2 J dxi(x) 5 dker**i(-k) =
= j P jj dx | (x) | M = J (*) dx, (8.114)
где
(8.115)
представляет собой плотность кинетической энергии, т, е. кинетическую
энергию единицы объема.
Теперь мы вернемся ко второй сумме, для которой найдем:
у Е J | Е J (k) I (- k) dk =
= \ E (2n)-"/" J J dx dk I (x) №* l(-k) =
= 1 ? (2л)-1/2 J J ^ ^ ? (*) (- g "-"*) ?(-?) = -|Е(2л)->/" J 5W] J
dktrl**t(-k) =
= ± E^dx[-^t(x)]l(x) =
= i E J $ "(*)</*, (8.116)
где
(r)W-y?(i)' <8Л17>
представляет собой плотность потенциальной энергии. Это следует из
обычного определения плотности упругой (потенциальной) энергии, равной
половине модуля упругости (у нас он обозначен через Е), умноженной на
квадрат соответствующей компоненты напряжения (в нашем случае эта
компонента представляет собой удлинение, отнесенное к единице длины, т.
е. дудх).
Преобразование от ^-представления к ^-представлению в уравнениях движения
(2.308) или (5.108) осуществить не так-то просто. Простейший путь состоит
в том, чтобы вспомнить, что эти уравнения следуют самым непосредственным
образом из (8.113). Если это верно тогда, когда в качестве переменных
выбраны \к, то это остается верным и тогда, когда вместо ?* вводим ? (х).
В лагранжиане L, записанном уже через ? (.х, t), мы обнаружим уже не
только \ (х, t) и i(x, t), но также и dljdx [см. (8.117)], и вариация L
будет содержать вариации ?, ? и дудх, причем две последние вариации не
будут независимыми от первой [ср. получение уравнений (2.308)]. Вводя
Ш
плотность лагранжиана X согласно равенству
X^^-U, (8.118)
вариационный принцип (8.113) можно переписать в виде:
Ь\\Х dxdt*=0. (8.119)
Отметим, что в (8.119) пространственная и временная координаты входят на
равных правах. Можно ожидать поэтому, что вариационный принцип,
представленный в форме (8.119), будет особенно удобен для использования в
релятивистском случае. Так оно на самом деле и есть.
Плотность лагранжиана X будет функцией ?, | и
ЛЬ
дЦдх, и из (8.119) мы получим, учитывая, что б| и 6^ не являются
независимыми вариациями:
б \\Х dxdt=*\\bX dxdt=>
MHf(8.120)
где мы учли, что б? обращается в нуль на границах как временного, так и
пространственного интервалов. Таким образом, мы получаем уравнения
движения:
ьдх ох , а дх Л ,8] .
dt Q\ dl ^дхд(д$/дх) (8.т)
Нетрудно обнаружить, что для плотности гамильтониана X, определяемой
согласно (8.115), (8.117) и (8.118),
(8.122)
уравнения (8.121) сводятся к волновому уравнению (8.101). Если ввести
функциональные производные б/б? от функции,
/V д1\
то можно записать (8.121) в виде:
d _6X л. ,с, \пд\
dt di Ы ' (8.124)
эти выражения формально тождественны с уравнениями движения Лагранжа
